6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第六章　计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课标要求 学法指导 1．通过实例，了解分类加法计数原理及其意义． 2．通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义. 1．根据实际问题归纳出两个计数原理，要正确理解“完成一件事”的含义，会应用两个计数原理解决问题． 2．根据实际问题的特征，能正确区分“分类”与“分步”：分类着重在“类”，类与类之间是并列的、互斥的、独立的；分步强调的是“步”，步与步之间是连续的、缺一不可的． 3．通过对两个计数原理的学习和应用，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 问题导入 一、第三十三届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是国际体坛的一大盛事．若有一名志愿者从梅斯直接赶赴巴黎为游客提供导游服务，每天有2个航班，3列火车． 问题1：该志愿者从梅斯到巴黎的方案可分几类？ 提示　两类，即乘飞机、坐火车． 问题2：这几类方案中各有几种方法？ 提示　第1类方案(乘飞机)有2种方法，第2类方案(坐火车)有3种方法． 问题3：该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不同的方法？ 提示　共有2＋3＝5(种)不同的方法． 二、若一名志愿者从梅斯赶赴巴黎为游客提供导游服务，但需绕行兰斯停留，再从兰斯出发到巴黎．已知从梅斯到兰斯每天有4列火车，从兰斯到巴黎每天有5列火车． 问题4：该志愿者从梅斯到巴黎需要经历几个步骤？ 提示　两个，即先坐火车到兰斯再坐火车到巴黎． 问题5：完成每一步各有几种方法？ 提示　第1个步骤有4种方法，第2个步骤有5种方法． 问题6：该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不同的方法？ 提示　共有4×5＝20(种)不同的方法． 微梳理 要点一　分类加法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 推广 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 思考：(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？ (2)各种方案之间有何关系？ 提示　(1)每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． (2)各种方案之间相互独立． 要点二　分步乘法计数原理 定义 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 推广 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法 思考：定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？ 提示　每一步中的每一种方法不能独立完成这件事． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每一种方法都可以完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) 解析　(1)错误．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同，则它在同一类方案中有且只能算是一种方法． (2)正确．在分类加法计数原理中，每一种方法都是独立的，可以单独完成这件事． (3)错误．在分步乘法计数原理中，每一步不能单独完成这件事． (4)正确．分步中的各种方法是相互独立的，所以每个步骤中的方法是各不相同的． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　分类加法计数原理 【例题1】 某校高三共有三个班，其各班人数如表所示. 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三一班 30 20 50 高三二班 30 30 60 高三三班 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从一班、二班男生中或从三班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解析　(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从高三一班任选一名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三二班任选一名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三三班任选一名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种)． (2)由题设知共有三类： 第1类，从一班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； 第2类，从二班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； 第3类，从三班女生中任选一名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种)． 规律总结 (1)应用分类加法计数原理解题的关键 ①标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案． ②不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏． ③方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． (2)应用分类加法计数原理解题的一般思路 【变式1】 (1)从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不正确 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为______. 解析　(1)分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．故选B项． (2)方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位是7的有6个； …… 个位是2的有1个． 根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 答案　(1)B　(2)36 探究二　分步乘法计数原理 【例题2】 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每个项目只有一个冠军)，共有多少种可能的结果？ 解析　(1)依次确定4名同学的选报项目，第一名同学在三项运动中选择一项，有3种选法，同理，第二、三、四名同学也都有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝81(种)报名方法． (2)依次确定三个项目的冠军，跑步的冠军由这4名同学中的一位获得，因此有4种可能，同理，跳高、跳远这两个项目的冠军也都有4种可能，根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝64(种)可能的结果． 规律总结 (1)应用分步乘法计数原理解题的一般思路 (2)应用分步乘法计数原理解题的注意点 ①将一个复杂的问题分解为若干“步骤”，要先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程． ②在分步过程中，任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． ③分步的标准不同，分成的步骤数一般也不同． 【变式2】 (1)某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名班干部参加学生党校培训，则不同的选法种数为(　　) A．20 B．9 C．16 D．24 (2)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为(　　) A．7 B．9 C．12 D．16 解析　(1)由题可知，男生选一名有5种选法，女生选一名有4种选法，则不同的选法种数为5×4＝20.故选A项． (2)得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种方法；第二步，确定b有4种方法．根据分步乘法计数原理，共可表示3×4＝12(个)不同的圆．故选C项． 答案　(1)A　(2)C 探究三　两个计数原理的简单综合应用 【例题3】 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 解析　(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法．根据分类加法计数原理，共有50＋42＋30＝122(种)选法． (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．根据分步乘法计数原理，共有50×42×30＝63 000(种)选法． (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法； ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法； ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法． 故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法． 规律总结 两个原理的区别与联系： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 【变式3】 (1)如图，从A→C的不同走法有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 (2)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是(　　) A．14 B．23 C．48 D．120 解析　(1)从A到C可分两类：第一类，从A到B再到C，共有2×2种走法；第二类，从A直接到C共有2种走法．所以从A→C共有4＋2＝6(种)走法．故选C项． (2)分两步：第一步，取多面体，分两类，可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个，根据分类加法计数原理有5＋3＝8(种)不同的取法；第二步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个，根据分类加法计数原理有4＋2＝6(种)不同的取法．所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是8×6＝48.故选C项． 答案　(1)C　(2)C 1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有(　　) A．5种 B．4种 C．9种 D．45种 答案　C 解析　会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选法；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选法．两者相加一共有9种选法．故选C项． 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 答案　B 解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．所以共有4×3＝12(种)不同的配法．故选B项． 3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 答案　C 解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)虚数．故选C项． 4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,8,9}，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为______. 解析　分为两类：第一类含5，若5来自集合A，则可以组成2个新的集合，若5来自集合B，则可以组成4个新的集合；第二类不含5，可以组成4×2＝8(个)新的集合．所以可以组成这样的新集合的个数为2＋4＋8＝14. 答案　14 学科网（北京）股份有限公司 $$