6.2.3 6.2.4 第2课时 组合数的综合应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第2课时　组合数的综合应用 探究一　有限制条件的组合问题 【例题1】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)选出2名教师去参加会议； (2)选出男、女教师各2名去参加会议； (3)选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师． 解析　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共有C＝45(种)不同的选法． (2)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名，有C种选法；第二步，从4名女教师中选2名，有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝15×6＝90(种)不同的选法． (3)方法一　至少有1名男教师可分两类：1男1女，有CC种选法；2男0女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝39(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C－C＝39(种)． 规律总结 有限制条件的组合问题的解题原则和方法 (1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则． (2)常用方法 ①直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素． ②间接法：原则是“正难则反”，也就是当正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此． 【变式1】 (1)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 (2)本例条件不变，按下列要求各有多少种不同的选法？ ①选出2名男教师或2名女教师去参加会议； ②选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师； ③选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师． 解析　(1)符合题意的组队方案可分为两类：一男两女，有CC＝5×6＝30(种)；两男一女，有CC＝10×4＝40(种)．所以不同的组队方案共有30＋40＝70(种)．故选D项． 答案　D (2)①可把问题分两类： 第一类，选出的2名是男教师，有C种选法； 第二类，选出的2名是女教师，有C种选法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同的选法． ②2名教师中恰有1名男教师，即选出1男1女，有CC＝6×4＝24(种)不同的选法． ③方法一　至多有1名男教师包括两类：1男1女，有CC种选法；0男2女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝30(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C－C＝30(种)． 探究二　几何中的组合问题 【例题2】 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 解析　方法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形； 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形． 根据分类加法计数原理，共有48＋112＋56＝216(个)不同的三角形． 方法二　从12个点中任意取3个点，有C种取法，而在共线的4个点中任意取3个点均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C种．故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216. 规律总结 求解几何中组合问题的注意事项 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止重复计算，常用直接法，也可用排除法． 【变式2】 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.则： ①以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ ②以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？ 解析　(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上，除点A外都有2个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的不同的取法有3C＋3＝33(种)． (2)①构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：a.四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C个四边形； b．三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形； c．两个点从C1，C2，…，C6中取出，另外两个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形． 故满足条件的四边形共有C＋CC＋CC＝360(个)． ②类似于①可分三种情况讨论得，满足条件的三角形共有C＋CC＋CC＝116(个)． 探究三　分组、分配问题 【例题3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本． 解析　(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法．所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种)不同的选法． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程也可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理，共有xA种方法，即CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种不同的选法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60(种)不同的选法． 规律总结 分组与分配问题的求解策略 (1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键要看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题，若有分配对象，则为分配问题．若有确定的分配对象，则为定向分配问题，反之，则为不定向分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【变式3】 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 答案　A 解析　将4名学生平均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．故选A项． 探究四　排列、组合的综合问题 【例题4】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表． 解析　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共有(CC＋CC)A＝5 400(种)选法． (2)除去该女生后，先选后排，有CA＝840(种)选法． (3)先选后排，但先安排该男生，有CCA＝3 360(种)选法． 规律总结 解决排列、组合综合问题 要遵循的原则及途径 (1)按事情发生的过程进行分步． (2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． 【变式4】 (1)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是(　　) A．9 B．18 C．27 D．36 (2)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　) A．90 B．120 C．210 D．216 解析　(1)方法一　先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有CA＝36(种)．故选D项． 方法二　先选择一个工地派2辆车，再将剩余的2辆车派给另外2个工地，则不同的派法共有CCA＝36(种)．故选D项． (2)因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CA＝120(种)站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有CCA＝90(种)站法．所以不同的站法种数是120＋90＝210.故选C项． 答案　(1)D　(2)C 1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取3个球，则这3个球同色的不同取法有(　　) A．27种 B．24种 C．21种 D．18种 答案　B 解析　分两类：一类是3个白球，有C＝20(种)取法，另一类是3个黑球，有C＝4(种)取法，所以共有20＋4＝24(种)取法．故选B项． 2．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个奇数，一个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为(　　) A．60 B．24 C．12 D．36 答案　D 解析　第一步先将三个数取出，有CC＝6(种)方法，第二步对取出的三个数进行排列，共有A＝6(种)方法，所以共有6×6＝36(个)三位数．故选D项． 3．从进入决赛的9名选手中决选出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有(　　) A．126种 B．160种 C．1 260种 D．1 620种 答案　C 解析　第一步，决选出三等奖，有C＝126(种)情况；第二步，决选出二等奖，有C＝10(种)情况；第三步，决选出一等奖，有C＝1(种)情况．根据分步乘法计数原理，共有126×10×1＝1 260(种)决赛结果．故选C项． 4．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有______种不同的选法(用数字作答)． 解析　当志愿组有3名男生，2名女生时，有CCCCA＝360(种)方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有CCCA＝120(种)方法，由分类加法计数原理得，共有360＋120＝480(种)不同的选法． 答案　480 5．已知一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋里任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)恰有1个为红球，共有多少种取法？ 解析　(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法有C＝126(种)． (2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法；然后从2个红球中任取1个红球，有C种取法．所以共有CC＝70(种)取法． 学科网（北京）股份有限公司 $$