6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

6.2.3　组　合 6．2.4　组合数 课标要求 学法指导 1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式. 1．学会区分“排列问题”和“组合问题”．取出若干元素后，“需要按照一定的顺序排成一列”的是排列问题，“不需要考虑顺序合成一组”的是组合问题． 2．对组合数的两个性质重在会解释，并运用于计算之中． 3．通过学习组合的概念、组合数公式，以及解决有限制条件的组合问题，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　组合与组合数 问题导入 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘． 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示　不相同． 问题2：它们是排列吗？ 提示　从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． 问题3：任取两个数相乘如何理解？ 提示　理解为任取两个数组合在一起． 微梳理 要点一　组合 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．相同组合：只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． 思考：(1)组合对元素有何要求？ (2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 提示　(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的． (2)无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地抽取． 要点二　组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 C 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 性质 C＝C，C＝C＋C 备注 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票是组合问题．(　　) (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法是排列问题．(　　) (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法是组合问题．(　　) (4)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．(　　) (5)区别组合与排列的关键是看元素是否与顺序有关．(　　) 解析　(1)错误．因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题． (2)正确．因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，所以是排列问题． (3)正确．因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． (4)错误．C是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C一定是正整数． (5)正确．组合与排列的不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列有顺序． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 探究一　组合的有关概念 【例题1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ (3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次)，共需进行多少场次的比赛？ (4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 解析　(1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数． (2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变． (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的情况，是有顺序区别的． 规律总结 判断是否为组合问题的方法 【变式1】 (多选)下列说法是组合问题的是(　　) A．由1,2,3,4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1,2,3,4组成无重复数字的两位数 答案　AC 解析　A项中选出的元素构成集合，是组合问题；B项中2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C项中选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D项中2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题．故选AC项． 探究二　组合数的计算公式及其性质 【例题2】 (1)计算：C－CA. (2)已知＋＝，求m. 解析　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)由已知得×＋×＝×，整理得m2－13m＋22＝0，解得m＝2或m＝11，由题意得0≤m≤4，m∈N*，所以m＝2. 规律总结 (1)组合数公式形式的选择规律 ①公式C＝＝，一般用于求值、计算； ②公式C＝(n，m∈N*，且m≤n)，一般用于化简、证明． (2)根据题目特点合理选用组合数的两个性质：C＝C，C＝C＋C能起到简化运算的作用，需熟练掌握． 【变式2】 (1)下列计算结果为21的是(　　) A．A＋C B．C C．A D．C (2)解方程或不等式． ①C＝C；②C＞C. 解析　(1)C＝＝21.故选D项． 答案　D (2)①由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，解得x＝4或x＝5.由得≤x≤8且x∈N*.故原方程的解为x＝4或x＝5. ②由C＞C得 所以即 又n∈N*，所以该不等式的解集为{6,7,8,9}． 探究三　简单的组合应用问题 【例题3】 一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解析　(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是C＝10. (2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是C＝6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个，取法种数是C＝4. 规律总结 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． [注意] 在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏． 【变式3】 (1)(2023·全国乙)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 (2)集合{0,1,2,3}中含有3个元素的子集个数是______. 解析　(1)甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法．故选C项． (2)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝4. 答案　(1)C　(2)4 微专题 组合数性质的证明与拓展 性质1：C＝C. [证明] 方法一　C＝ ＝＝C. 方法二　一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，必然剩下(n－m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的(n－m)个元素的组合一一对应．因此从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个不同的元素中取出(n－m)个元素的组合数，即C＝C. [说明] (1)等式特点：等式两边下标相同，上标之和等于下标． (2)公式作用：①C＝C⇒x＝y或x＋y＝n；②当m＞时，计算C可变为计算C，能够使运算简化． 【练习1】 已知C＝C，则x的值为(　　) A．6 B．8 C．12 D．8或12 答案　D 解析　由C＝C得2x－8＝x或2x－8＋x＝28，解得x＝8或x＝12.故选D项． 性质2：C＝C＋C. [证明] C＋C＝＋ ＝＝ ＝＝C，所以C＝C＋C. [说明] (1)等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1，而上标与大的数相同的一个组合数． (2)公式作用：顺用(将一个组合数拆成两个)、逆用(合二为一)、恒等变形(如C＝C－C)，简化运算． 【练习2】 C＋C＋C＋C＋C＋C＝(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　B 解析　因为C＋C＝C，所以C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C.故选B项． 公式拓展 常见组合数恒等式 (1)C＝C；(2)C＝·C；(3)C＝C；(4)C＋C＋…＋C＋C＝C；(5)CC＋CC＋…＋CC＝C. 1．从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个，则下列问题是组合问题的为(　　) A．相加，可以得到多少个不同的和 B．相乘，可以得到多少个不同的积 C．相减，可以得到多少个不同的差 D．相除，可以得到多少个不同的商 答案　B 解析　判断一个问题是否为组合问题，关键是看该问题是否与顺序有关，由于减法与除法不满足交换律，取出的两个数就与顺序有关，因此不是组合问题；加法与乘法满足交换律，与取出的两个数的排序无关，但是由于5＋11＝3＋13，11＋19＝13＋17等，故相加，可以得到多少个不同的和，这个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不同的积，这个问题是组合问题．故选B项． 2．(多选)把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A．A种 B．C种 C．720种 D．120种 答案　BD 解析　三张票没区别，从10个人中选3人即可，即分法有C＝120(种)．故选BD项． 3．已知6C＝A，则正整数n＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　由6C＝A得6×＝n(n－1)·(n－2)(n≥3)，解得n＝5.故选C项． 4．从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合为______. 解析　要想列出所有组合，做到不重不漏，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来，如图所示．故所有组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 答案　ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de 学科网（北京）股份有限公司 $$