6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.在平面内，当基底选定后，会用基底来表示其他向量(重点).3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点).4.发展数学抽象和逻辑推理的核心素养． 要点　平面向量基本定理 1．定义 如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线向量__，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使　a＝λ1e1＋λ2e2　. 2．基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能用e1，e2表示的依据是什么？ 提示　依据是向量的数乘运算和平行四边形法则． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)平面向量的基底是唯一的．(　　) (2)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　　) (3)零向量不可以作为基底中的向量．(　　) (4)如果e1，e2是共线向量，那么向量a一定不能用e1，e2表示．(　　) (5)如果向量a，b与空间中的任一向量都不能构成空间中的一个基底，那么向量a，b一定是共线向量. (　　) (6)已知a，b是一组不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2，y1＝y2.(　　) 解析　(1)错误，平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一个基底． (2)错误，不共线的两个向量才能作为基底． (3)正确，零向量与任意向量共线． (4)错误，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． (5)正确，向量a，b与空间中的任何向量都不能构成空间中的一个基底，说明向量a，b与空间中的任一向量都是共面向量，从而a，b一定是共线向量． (6)正确，{a，b}是平面内的一个基底，由x1a＋y1b＝x2a＋y2b和平面向量基本定理知，x1＝x2，y1＝y2. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 探究一　基底的判断 规律总结　 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的充要条件．由于零向量与任意向量共线，因此平面向量的基底中一定不含零向量． 【例题1】 设a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 解析　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于a，b不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，所以λ是不存在的，从而c，d不共线，即c，d能作为基底． 【变式1】 若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为表示平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案　D 解析　A项中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量，不能作为基底；B项中，2e1－e2＝2，也为共线向量，不能作为基底；C项中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量，不能作为基底；根据不共线的向量可以作为基底知只有D项符合．故选D项． 探究二　运用基底表示向量 规律总结　 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一个基底表示，进而建立起向量之间的联系． (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则． (3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或平行四边形法则快速找到表示法． 【例题2】 (1)如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且 AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)． (2)如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为____________. 解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. (2)选取，为基底，则＝＋＝＋，又＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ＝＋(λ－μ)，所以λ－μ＝1. 答案　(1)a＋b　(2)1 【变式2】 (1)设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ (2)已知向量e1，e2为平面向量的一个基底，且＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件为(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝－1 D．mn＝1 解析　(1)依题意得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D项． (2)若A，B，D三点共线，则∥，所以＝λ，又＝e1＋me2，＝ne1＋e2，所以e1＋me2＝λ(ne1＋e2)．又e1，e2为平面向量的一个基底，所以所以mn＝1.故选D项． 答案　(1)D　(2)D 探究三　平面向量基本定理在平面几何中的应用 解题技巧　用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量运算，再将向量问题转化为几何问题，即几何→向量→几何，其中平面向量基本定理是基础． 【例题3】 (1)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求与的值． (2)证明：平行四边形的对角线互相平分． 解析　(1)设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理得解得所以＝，＝，所以＝4，＝. (2)证明：如图，在平行四边形ABCD中，取AC的中点O，连接BO，DO.设＝a，＝b，则＝a＋b，＝＝a＋b.所以＝－＝a＋b－a＝(b－a)＝，所以O为BD的中点．所以平行四边形的对角线互相平分． 【变式3】 (1)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为(　　) A．－ B．－ C． D． (2)如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点． 解析　(1)因为＝λ＝－λ＝－(＋)，所以 ＝－.又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.故选A项． 答案　A (2)证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，所以＝＋＝＋＝b＋A.由题图知，点A，E，F共线，点B，D，E共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ，＝μ，于是＝a＋λb，＝μb－μA.由于＋＝，则(1－μ)a＋μb＝a＋λb.因为a与b不共线，所以解得所以＝，即E为线段BD(靠近点D)的一个三等分点． 1．(多选)如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，下列向量组中，可作为表示该平面其他向量基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案　AC 解析　与，与是共线向量，不能作为基底；与，与不是共线向量，可以作为基底．故选AC项． 2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 答案　A 解析　易知＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A项． 3．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________. 解析　由题意可知a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2＝2e1＋3e2，所以解得 答案　　－ 4．如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2且＝r＋s，则2r＋3s＝________. 解析　根据题意，＝＋＝＋，而＝＋＋＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋.因为＝r＋s，所以r＝，s＝，故2r＋3s＝2×＋3×＝3. 答案　3 学科网（北京）股份有限公司 $$