6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第二课时　正弦定理 [学习目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理(重点).2.发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点一　正弦定理 1．定义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝__2R__，其中R是三角形外接圆的半径． 2．正弦定理的推论 (1)a∶b∶c＝　sin A∶sin B∶sin C　. (2)a＝__2Rsin_A__，b＝__2Rsin_B__，c＝__2Rsin_C__. (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (4)＝＝＝ . 3．正弦定理可解决的两类问题 (1)已知__两角和一边__，解三角形． (2)已知__两边和其中一边的对角__，解三角形． 4．三角形的面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r，其中R是三角形外接圆的半径，r是三角形内切圆的半径． 思考： 在△ABC中，若sin A>sin B，是不是一定有A>B？反之，若A>B，是不是一定有sin A>sin B? 提示　设R为△ABC外接圆的半径，根据正弦定理可得sin A＝，sin B＝，所以若sin A>sin B，一定有a>b，于是A>b.反之，由A>B可得a>b，再由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B知，一定有sin A>sin B． 要点二　已知两边和其中一边的对角解三角形 情况的分布 0°＜A＜90° 90°≤A＜180° 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 情况 无解 一解 两解 一解 一解 无解 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)正弦定理适用于任意三角形. (　　) (2)在△ABC中，等式AC·sin A＝BC·sin B总能成立．(　　) (3)在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　) (4)在△ABC中，若已知三个角A，B，C，可以解其他元素．(　　) 解析　(1)正确，正弦定理适用于任意三角形． (2)正确，由正弦定理知＝，即AC·sin A＝BC·sin B． (3)错误，在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值决定． (4)错误，在△ABC中，必须有“边”的元素加入，否则无法确定三角形的大小． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　已知两角及一边解三角形 解题技巧　已知两角和任意一边解三角形的方法 事实上，所谓解三角形本质上就是解关于边角的方程．已知三角形的两角与一边解三角形时，①由三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°可以计算出三角形的第三个角；②由正弦定理＝＝可以计算出三角形的另两边． 【例题1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，A＝45°，B＝60°，求a，c和c. 解析　因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(60°＋45°)＝75°.由正弦定理得a＝＝×＝，c＝＝＝. 【变式1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________. 解析　因为在△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝.再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2. 答案　　2 探究二　已知两边及其中一边的对角解三角形 解题技巧　已知三角形两边和其中一边 的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出唯一的锐角． (3)当已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，对求出的两个角要分类讨论． 【例题2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c. 解析　由正弦定理得＝，即＝，所以sin A＝.因为a＞b，所以A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝. 【变式2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据以下情况判断△ABC解的个数． (1)a＝5，b＝6，A＝30°； (2)a＝2，b＝，A＝45°； (3)a＝5，b＝3，B＝120°； (4)a＝3，b＝4，A＝60°. 解析　(1)因为a＝5，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，并且bsin A＝6sin 30°＝3，a＞bsin A，所以三角形有两解． (2)由＝得sin B＝＝＝＝.因为a＞b，所以A＞B，所以B必为锐角，所以三角形有一解． (3)因为a＝5，b＝3，a＞b，所以A＞b.又因为B＝120°，所以不存在角A，所以三角形无解． (4)因为a＝3，bsin A＝4×sin 60°＝2，所以a＜bsin A，所以三角形无解． 探究三　判断三角形的形状 规律总结　 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理． 【例题3】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断△ABC的形状． 解析　方法一　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C．由余弦定理并整理，得b2＋c2－b22－c22＝2bc××， 所以b2＋c2＝＝＝a2，所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形． 方法二　由正弦定理可将已知条件转化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C．因为sin Bsin C≠0，所以sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0.又因为0°<B＋C<180°，所以B＋C＝90°，所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形． 【变式3】 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状． 解析　由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，可得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2·sin Acos B＝a2cos Asin B，即sin2Bsin Acos B＝sin2A·cos Asin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角，故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能是2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.故△ABC为等腰三角形或直角三角形． 探究四　正、余弦定理的综合应用 规律总结　 (1)在解决与三角形的面积有关的计算问题时，要选取合适的面积公式，公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形中哪个角的正弦值可求． (2)利用正、余弦定理解三角形的注意点：①注意隐含条件的挖掘和使用，一是三角形的内角和是π，常用的思路是A＋B＝π－C，然后代换，利用三角函数的诱导公式解决；二是三角形中“大边对大角”，发掘这一隐含条件可以简化运算，然后综合利用正弦定理和余弦定理即可求解；②正确、灵活地选用正、余弦定理，一般地，若题设中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑利用余弦定理进行转化；若题设中含有角的正弦或边的一次式，则要考虑利用正弦定理进行转化处理． 【例题4】 (1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. (2)(2022·新课标Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. ①求△ABC的面积； ②若sin Asin C＝，求b. 解析　(1)由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝4，所以a2＋c2＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去)． 答案　2 (2)①由题意得S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝，即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理的推论cos B＝并整理得accos B＝1，则cos B>0.又因为sin B＝，所以cos B＝＝，所以ac＝＝，所以S△ABC＝acsin B＝. ②由正弦定理得＝＝，则＝·＝＝＝，即＝，所以b＝sin B＝. 【变式4】 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2. (1)当A＝30°时，求a的值； (2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值． 解析　(1)因为cos B＝，所以sin B＝.又b＝2，A＝30°，由正弦定理＝，可得＝，所以a＝. (2)因为△ABC的面积S＝acsin B＝3，sin B＝，所以ac＝3，即ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2. 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C． D．5 答案　B 解析　由正弦定理得b＝＝＝10.故选B项． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．2 C．4 D． 答案　C 解析　因为cos C＝，0＜C＜π，所以sin C＝，所以S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.故选C项． 3．已知b＝6，c＝10，B＝30°，则以a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对边的三角形(　　) A．不存在 B．有一个 C．有两个 D．不能确定 答案　C 解析　由正弦定理知sin C＝＝，又c>b>csin B＝5，所以这样的三角形有两个．故选C项． 4．(2023·全国乙)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则∠B＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，整理得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，所以cos A＝0，即A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C项． 学科网（北京）股份有限公司 $$