第3单元 圆柱与圆锥高频易错培优讲练测(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

圆柱与圆锥 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：某钢铁加工厂将一根长9米，直径10厘米的圆柱形钢条加工成底面半径为10厘米、高45厘米的圆锥形零件；一根这样的圆柱形钢条可以加工多少个圆锥形零件？ 【答案】15个。 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出圆柱的体积是圆锥体积的多少倍，就可以加工多少个圆锥形零件。 【解答】解：9米＝900厘米 3.14×（10÷2）2×900÷（3.14×102×45） ＝3.14×25×900÷（3.14×100×45） ＝70650÷4710 ＝15（个） 答：一根这样的圆柱形钢条可以加工15个圆锥形零件。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。 例题2：把一个底面半径为2dm，高为9dm的圆柱形钢材。改铸成底面直径为10dm的圆锥形零件，铸成的零件高是多少分米？ 【答案】4.32分米。 【分析】根据体积的意义可知，把圆柱形钢材铸成圆锥形零件体积不变，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝Vπr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×22×9[3.14×（10÷2）2] ＝3.14×4×9[3.14×25] ＝113.04×3÷78.5 ＝339.12÷78.5 ＝4.32（分米） 答：铸成的零件高是4.32分米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题3：把一块长为15cm、宽为3.14cm、高为2cm的方钢熔铸成底面直径是8cm的圆锥形钢坯，这个圆锥形钢坯的高是多少厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，把长方体的方钢熔铸成圆锥形钢坯，只是形状变化了，但钢坯的体积没有变．根据长方体的体积公式：V＝abh，求出长方体钢坯的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，用体积底面积＝圆锥的高．由此列式解答． 【解答】解：15×3.14×2[3.14×（8÷2）2] ＝3016 ＝5.625（厘米） 答：这个圆锥形钢坯的高是5.625厘米． 【点评】此题是长方体和圆锥的体积的实际应用，根据长方体的体积公式求出钢坯的体积，再根据圆锥体积的计算方法解决问题． 例题4：将一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在底面半径是5厘米，高是25厘米的圆柱形容器中（水未溢出）。容器中水面会升高多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【答案】1.2厘米。 【分析】根据题意，把一个圆锥形铁块完全浸没在装有水的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积公式Vπr2h，求出铁块的体积，也就是水上升部分的体积；水上升部分是一个底面半径为5厘米的圆柱，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积；再根据圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面上升的高度。 【解答】解：圆锥的体积（水上升部分的体积）： 3.14×（6÷2）2×10 3.14×32×10 3.14×9×10 ＝94.2（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 94.2÷78.5＝1.2（厘米） 答：容器中水面会升高1.2厘米。 【点评】本题考查了圆柱和圆锥的体积，要熟练运用所学公式。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．圆柱的特征 【知识点归纳】 圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面． 2．圆柱的展开图 【知识点归纳】 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高． 3．圆柱的侧面积和表面积 【知识点归纳】 圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积 侧面积＝底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积＝侧面积+2个底面积 4．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 5．圆柱的侧面积、表面积和体积 【知识点归纳】 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： V＝πr2h． 6．圆锥的体积 【知识点归纳】 圆锥体积底面积×高，用字母表示： VShπr2h，（S表示底面积，h表示高） 第四部分 高频真题 一．选择题（共11小题） 1．一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是（　　） A．1：π B．1：2π C．π：1 D．2π：1 2．把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的9倍 3．将一个高为18cm的圆锥形容器装满水，然后将水全部倒入一个与它底面积相等的圆柱容器里，这时水高（　　）厘米。 A．36 B．18 C．6 4．下面说法正确的是（　　） A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形。 B．1的倒数是它本身。 C．假分数一定小于带分数。 5．一个圆柱的底面半径是1.5dm，侧面积是4dm2，这个圆柱的体积是（　　） A．6dm3 B．3dm3 C．12.345 dm3 D．无法计算 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18cm3，这个圆柱的体积是（　　）cm3。 A．6 B．9 C．18 D．27 7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积差是20立方厘米，圆柱的体积是（　　）立方厘米。 A．40 B．30 C．20 D．15 8．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（　　） A． B． C． D．2倍 9．有一块正方体木料，它的棱长是6cm，把这块木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（　　）cm3。 A．216 B．169.56 C．56.52 10．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，圆柱的高是12cm，圆锥的高是_____cm。（　　） A．4 B．12 C．36. 11．一个圆柱形容器底面半径是5厘米，里面装有水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了2厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？（　　） A．厘米 B．25厘米 C．厘米 D．30厘米 二．填空题（共15小题） 12．一个圆锥的底面周长是25.12cm，高是6cm，它的体积是 　 　cm3。 13．一个圆锥和一个圆柱高相等，体积的比是1：6。如果圆锥的底面积是12.56平方厘米，圆柱的底面积是 　 　平方厘米；如果圆柱的底面积是12.56平方厘米，圆锥的底面积是 　 　平方厘米。 14．一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，长为12.56厘米，宽为3厘米，此圆柱的底面半径是 　 　厘米，这个圆柱的体积是 　 　立方厘米。 15．用一张长方形纸卷成一个底面直径是10cm，高20cm的圆柱体（接头不计），这张长方形纸的长是　 　cm．宽是　 　cm． 16．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差26dm3，圆锥的体积是 　 　dm3。 17．把一个棱长为6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 　 　立方分米。 18．用一个圆锥形的容器往与它等底的圆柱形容器里倒水，共倒了6次才倒满，已知圆柱形容器高12厘米，那么这个圆锥形容器的高是 　 　厘米。 19．把一个底面半径4分米，高2分米的圆柱熔铸成一个底面直径8分米的圆锥，这个圆锥的高是 　 　分米。 20．一个圆柱的侧面积是50.24cm2，底面周长是3.14cm，则它的高是 　 　cm，底面半径是 　 　cm，表面积是 　 　cm2。 21．如图，要计算圆柱的表面积，它的表面积是 　 　cm2。 22．一个圆柱底面直径是2分米，高是5分米，它的表面积是 　 　平方分米，体积是 　 　立方分米。 23．如图，把底面积314平方厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米。 24．一个圆锥的体积是314立方厘米，高是3cm，底面半径是　 　． 25．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子漏入下面空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约 　 　厘米高的沙子。 26．一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是2：3，它们的体积之比是4：5，那么圆柱和圆锥的高之比是 　 　。 三．判断题（共9小题） 27．如果圆锥的体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高。 　 　 28．两个圆柱的体积相等，它们的底面积和高不一定相等。 　 　 29．一个圆柱的体积和一个圆锥的体积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。 　 　 30．圆柱体的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．　 　． 31．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的9倍。 　 　 32．圆柱的底面周长和高相等时，它的侧面沿高展开是正方形。 　 　 33．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，它的高与底面半径的比是π：1。 　 　 34．将一根圆柱形木料削成一个圆锥，圆锥体积是削去部分的　 　． 35．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍． 　 　． 四．计算题（共4小题） 36．计算圆柱的表面积和体积。 37．利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形（接头处忽略不计），求这个圆柱的体积。 38．（1）求半圆的周长。（π取3.14） （2）如图，把一个底面半径是2dm、高是6dm的圆柱形木料，削成一个由两个圆锥体组成的零件。每个圆锥的高是原来圆柱高的一半，底面积和原来圆柱的底面积相等。求削去部分的体积。（π取3.14） 39．如图所示，这个物体的体积是多少？ 五．应用题（共7小题） 40．一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8cm，高10cm，杯里装了一些水，把一个底面直径是4cm的圆锥形铁块放入（完全淹没），水面上升了0.5cm，圆锥的高是多少？ 41．一个圆柱形玻璃缸，底面直径是6dm，高4dm，水深25cm，把一个底面半径是4dm的圆锥完全浸没在水中，水面上升到27cm，这个圆锥的高是多少厘米？ 42．如图，一只工具箱的下半部是棱长2分米的正方体，上半部是圆柱的一半。做这个工具箱需要多少平方分米材料？ 43．把一节长方体木料加工成一个最大的圆锥形积木，圆锥的体积最大是多少？ 44．一个底面周长37.68平方厘米，高1分米的圆锥形钢坯，熔铸成一个长12厘米，宽6.28厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 45．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如图所示。 价格表 A：15元 B：10元 （1）包装的侧面是一种环保材料，制作一个圆柱形包装至少需要多少平方厘米的环保材料？（接口处忽略不计） （2）你认为这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注明：忽略商场搞促销的策略） 46．把一个长、宽、高分别为8厘米、7厘米、6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径为8厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？ 第三单元 圆柱与圆锥 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是（　　） A．1：π B．1：2π C．π：1 D．2π：1 【答案】B 【分析】因为将圆柱沿高展开后得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，由此再根据“一个圆柱的侧面展开是一个正方形，”知道圆柱的底面周长与圆柱的高相等；设圆柱的底面半径为r，根据圆的周长公式，C＝2πr，表示出圆柱的底面周长，即圆柱的高，由此即可得出圆柱的底面半径和高的比． 【解答】解：设圆柱的底面半径为r， 则圆柱的底面周长是：2πr， 即圆柱的高为：2πr， 圆柱的底面半径和高的比是：r：2πr＝1：2π； 故选：B。 【点评】此题主要考查了圆柱与圆柱的侧面展开图之间的关系，再根据相应的公式与基本的数量关系解决问题． 2．把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的9倍 【答案】A 【分析】分析题意可知，橡皮泥捏成的圆柱与圆锥的体积是相等的；再根据圆柱与圆锥的体积计算公式可以推出体积相等且底相等时，圆锥的高与圆柱高的关系，至此问题得解。 【解答】解：根据体积的意义可知，把一团圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，体积不变。因数等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。所以把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大到原来的3倍。 故选：A。 【点评】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 3．将一个高为18cm的圆锥形容器装满水，然后将水全部倒入一个与它底面积相等的圆柱容器里，这时水高（　　）厘米。 A．36 B．18 C．6 【答案】C 【分析】分析题意可知，水的体积不变，且两个容器等底，则水在圆柱容器内的高度是圆锥容器内高度的；用18cm乘，问题即可得解。 【解答】解：186（cm） 答：这时水高6cm。 故选：C。 【点评】此题是运用圆锥、圆柱的关系来求体积，当圆锥和圆柱等底等体积时，它们的高有3倍或的关系。 4．下面说法正确的是（　　） A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形。 B．1的倒数是它本身。 C．假分数一定小于带分数。 【答案】B 【分析】圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面；1的倒数是1；假分数大于或等于1的分数。 【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形；原题说法错误； 1的倒数是它本身，说法正确； 假分数可能小于带分数，原题说法错误。 故选：B。 【点评】本题考查了圆锥的特征、倒数的意义及假分数的认识。 5．一个圆柱的底面半径是1.5dm，侧面积是4dm2，这个圆柱的体积是（　　） A．6dm3 B．3dm3 C．12.345 dm3 D．无法计算 【答案】B 【分析】首先用圆柱的侧面积除以底面周长求出高，再根据圆柱的体积公式：v＝sh，把数据代入公式解答． 另一种方法，圆柱的体积还等于侧面积的一半乘半径，因此此题列式为4÷2×1.5＝3立方分米． 【解答】解：方法一：3.14×1.52×[4÷（3.14×1.5×2）] ＝3.14×2.25×[4÷9.42] ≈7.065×0.42 ＝2.9673（立方分米） ≈3（立方分米） 方法二：4÷2×1.5 ＝2×1.5 ＝3（立方分米） 答：这个圆柱的体积约是3立方分米． 故选：B． 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18cm3，这个圆柱的体积是（　　）cm3。 A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍；又知它们的体积差为18cm3，根据两数之差：（倍数﹣1）＝小数即可求出圆锥体积，进而求出圆柱的体积。 【解答】解：由分析可知，圆锥的体积： 18÷（3﹣1） ＝18÷2 ＝9（cm3） 9×3＝27（cm3） 故选：D。 【点评】掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的倍数关系是解答的关键。 7．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积差是20立方厘米，圆柱的体积是（　　）立方厘米。 A．40 B．30 C．20 D．15 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，因此它们的体积差除以2就是圆锥的体积，用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积。 【解答】解：20÷2＝10（立方厘米） 10×3＝30（立方厘米） 答：圆柱的体积是30立方厘米。 故选：B。 【点评】本题考查的目的是使学生理解掌握：等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系，即等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍。据此关系可以解决有关的实际问题即可。 8．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（　　） A． B． C． D．2倍 【答案】C 【分析】根据题意，可设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2，根据圆柱的体积公式V＝sh和圆锥的体积公式Vsh确定各自的体积，然后再用圆锥的体积除以圆柱的体积即可． 【解答】解：设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2， （s×1）÷（2s） s÷2s 答：圆锥的体积是圆柱体积的． 故选：C． 【点评】此题主要考查的是圆柱体体积公式和圆锥体体积公式的灵活应用． 9．有一块正方体木料，它的棱长是6cm，把这块木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（　　）cm3。 A．216 B．169.56 C．56.52 【答案】C 【分析】根据题意可知：把棱长是6厘米的正方体木料加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（6÷2）2×6 3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝56.52（cm3） 答：这个圆锥的体积是56.52cm3。 故选：C。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是明确：把棱长是6厘米的正方体木料加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。 10．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，圆柱的高是12cm，圆锥的高是_____cm。（　　） A．4 B．12 C．36. 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式V＝sh，圆锥的体积公式VSh，当圆柱和圆锥的体积、底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，由此求出圆锥的高，进而做出选择。 【解答】解：12×3＝36（厘米） 答：圆锥的高是36厘米。 故选：C。 【点评】此题主要考查了利用圆柱与圆锥的体积公式，推导出在体积、底面积分别相等时，圆柱的高与圆锥的高的关系。 11．一个圆柱形容器底面半径是5厘米，里面装有水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了2厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？（　　） A．厘米 B．25厘米 C．厘米 D．30厘米 【答案】A 【分析】水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积，根据圆柱体积＝底面积×高，求出水面上升的体积，即圆锥形铁块的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式计算即可。 【解答】解：3.14×52×2×3÷（3.14×32） ＝3.14×25×2×3÷（3.14×9） ＝157×3÷28.26 ＝471÷28.26 （厘米） 答：圆锥形铁块的高是厘米。 故选：A。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二．填空题（共15小题） 12．一个圆锥的底面周长是25.12cm，高是6cm，它的体积是 　100.48　cm3。 【答案】100.48。 【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×6 3.14×16×6 ＝100.48（立方厘米） 答：它的体积是100.48立方厘米。 故答案为：100.48。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．一个圆锥和一个圆柱高相等，体积的比是1：6。如果圆锥的底面积是12.56平方厘米，圆柱的底面积是 　25.12　平方厘米；如果圆柱的底面积是12.56平方厘米，圆锥的底面积是 　6.28　平方厘米。 【答案】25.12，6.28。 【分析】根据圆锥的体积公式：VSh，圆柱的体积公式：V＝Sh，设圆柱与圆锥的高是h，圆锥的体积是V，则圆柱的体积是6V，由此根据圆柱与圆锥的体积公式，求得它们的底面积的比，即可解答问题。 【解答】解：设圆柱与圆锥的高是h，圆锥的体积是V，则圆柱的体积是6V。 圆锥的底面积是： 圆柱的底面积是： 圆锥的底面积与圆柱底面积的比是：：1：2 当圆锥的底面积是12.56平方厘米时，圆柱的底面积是：12.56×2＝25.12（平方厘米） 当圆柱的底面积是12.56平方厘米时，圆锥的底面积是：12.56÷2＝6.28（平方厘米） 答：圆柱的底面积是25.12平方厘米；圆锥的底面积是6.28平方厘米。 故答案为：25.12，6.28。 【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，长为12.56厘米，宽为3厘米，此圆柱的底面半径是 　2　厘米，这个圆柱的体积是 　37.68　立方厘米。 【答案】2，37.68。 【分析】由圆柱体的侧面展开图的特征可知：圆柱体的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，再据底面周长已知，即可求出底面半径，进而利用圆柱的体积＝底面积×高，即可求其体积。 【解答】解：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方厘米） 答：此圆柱的底面半径是2厘米，这个圆柱的体积是37.68立方厘米。 故答案为：2，37.68。 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积、体积的计算方法，关键是明白：圆柱体的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 15．用一张长方形纸卷成一个底面直径是10cm，高20cm的圆柱体（接头不计），这张长方形纸的长是　31.4　cm．宽是　20　cm． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干分析可得，这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，由此即可解答． 【解答】解：长方形纸的长：3.14×10＝31.4（厘米） 长方形纸的宽就是圆柱的高，即20厘米． 答：这张长方形纸的长是31.4厘米，宽是20厘米． 故答案为：31.4；20． 【点评】此题主要考查圆柱体的侧面展开图的特征． 16．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差26dm3，圆锥的体积是 　13　dm3。 【答案】13。 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据差倍公式：较小数＝数量差÷（倍数﹣1），代入数据，列式计算，可求出1倍数，即圆锥的体积。 【解答】解：26÷（3﹣1） ＝26÷2 ＝13（dm3） 答：圆锥的体积是13dm3。 故答案为：13。 【点评】本题考查的是圆锥的体积公式的应用。 17．把一个棱长为6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 　56.52　立方分米。 【答案】56.52。 【分析】这个圆锥的底面直径是6分米，高是6分米，再根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，解答即可。 【解答】解：6÷2＝3（分米） 3.14×3×3×6÷3＝56.52（立方分米） 答：这个圆锥的体积是56.52立方分米。 故答案为：56.52。 【点评】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。 18．用一个圆锥形的容器往与它等底的圆柱形容器里倒水，共倒了6次才倒满，已知圆柱形容器高12厘米，那么这个圆锥形容器的高是 　6　厘米。 【答案】6。 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。据此解答。 【解答】解：6÷3＝2 12÷2＝6（厘米） 答：这个圆锥形容器的高是6厘米。 故答案为：6。 【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 19．把一个底面半径4分米，高2分米的圆柱熔铸成一个底面直径8分米的圆锥，这个圆锥的高是 　6　分米。 【答案】6。 【分析】根据体积的意义可知，把圆柱熔铸成圆锥后体积不变，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝3V÷（πr2），把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×42×2×3÷[3.14×（8÷2）2] ＝3.14×16×2×3÷[3.14×16] ＝100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 答：这个圆锥的高是6分米。 故答案为：6。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．一个圆柱的侧面积是50.24cm2，底面周长是3.14cm，则它的高是 　16　cm，底面半径是 　0.5　cm，表面积是 　51.81　cm2。 【答案】16；0.5；51.81。 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面周长＝2πr，圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积，圆柱的底面积＝πr2，根据公式计算即可。 【解答】解：50.24÷3.14＝16（cm） 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（cm） 50.24+3.14×0.52×2 ＝50.24+3.14×0.25×2 ＝50.24+0.7850×2 ＝50.24+1.57 ＝51.81（cm2） 答：则它的高是16cm，底面半径是0.5cm，表面积是51.81cm2。 故答案为：16；0.5；51.81。 【点评】此题考查了圆柱侧面积、表面积的计算。 21．如图，要计算圆柱的表面积，它的表面积是 　18.84　cm2。 【答案】18.84。 【分析】底面圆的周长6.28厘米，圆柱的高是2厘米。圆柱的表面积＝底面圆的周长×高+圆柱的底面。 【解答】解：6.28×2+（6.28÷3.14÷2）2×3.14×2 ＝12.56+6.28 ＝18.84（平方厘米） 故答案为：18.84。 【点评】熟悉圆柱表面积的计算公式是解决本题的关键。 22．一个圆柱底面直径是2分米，高是5分米，它的表面积是 　37.68　平方分米，体积是 　15.7　立方分米。 【答案】37.68；15.7。 【分析】圆柱的表面积是两个底面积加上一个侧面积，根据圆面积公式S＝πr2计算底面积，用底面周长乘高求出侧面积，相加可求它的表面积；再用底面积乘高求出圆柱的体积即可。 【解答】解：表面积：3.14×（2÷2）2×2+3.14×2×5 ＝3.14×2+3.14×10 ＝3.14×12 ＝37.68（平方分米） 体积：3.14×（2÷2）2×5 ＝3.14×5 ＝15.7（立方分米） 答：它的表面积是37.68平方分米；体积是15.7立方分米． 故答案为：37.68；15.7。 【点评】此题主要考查的是圆柱的表面积公式和圆柱的体积公式及其应用。 23．如图，把底面积314平方厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是 　314　平方厘米，体积是 　3140　立方厘米。 【答案】314，3140。 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成的长方体的高等于圆柱的高，拼成的长方体的体积等于圆柱的体积。据此解答。 【解答】解：314×10＝3140（立方厘米） 答：这个长方体的侧面积是314平方厘米，体积是3140立方厘米。 故答案为：314，3140。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导方法及应用。 24．一个圆锥的体积是314立方厘米，高是3cm，底面半径是　10厘米　． 【答案】见试题解答内容 【分析】圆锥的体积πr2h，由此可得圆锥的半径r2＝V×3÷（πh）代入数据即可计算出这个圆锥的半径．据此解答． 【解答】解：314×3÷（3.14×3） ＝314×3÷9.42 ＝100（平方厘米） 100＝10×10 所以底面半径是10厘米． 答：底面半径是10厘米． 故答案为：10厘米． 【点评】此题考查了圆锥的体积公式的计算应用，熟记公式即可解答． 25．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子漏入下面空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约 　4　厘米高的沙子。 【答案】4。 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙子的体积，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出在圆柱形玻璃瓶中会平铺沙子的高，即可解答。 【解答】解：3.14×（12÷2）×（12÷2）×12÷3÷[3.14×（12÷2）×（12÷2）] ＝1356.48÷3÷113.04 ＝452.16÷113.04 ＝4（厘米） 答：在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约4厘米高的沙子。 故答案为：4。 【点评】本题考查的是圆锥体积的计算，熟记公式是解答关键。 26．一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是2：3，它们的体积之比是4：5，那么圆柱和圆锥的高之比是 　3：5　。 【答案】3：5。 【分析】依据题意可知，一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是2：3，则一个圆柱的底面半径和一个圆锥的底面半径之比是2：3，所以圆柱的底面积和圆锥的底面积之比是4：9，利用圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高÷3，计算圆柱和圆锥的高之比。 【解答】解：一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是2：3，则一个圆柱的底面半径和一个圆锥的底面半径之比是2：3，所以圆柱的底面积和圆锥的底面积之比是4：9， 圆柱的底面积×圆柱的高：圆锥的底面积×圆锥的高÷3＝4：5， 则圆柱的高：圆锥的高3：5 故答案为：3：5。 【点评】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 三．判断题（共9小题） 27．如果圆锥的体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高。 　×　 【答案】× 【分析】圆锥的体积是圆柱体积的，只能说它们底面积和高的积相等。 【解答】解：如果圆锥的体积是圆柱体积的，它们不一定等底等高。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱、圆锥体积的意义及应用。 28．两个圆柱的体积相等，它们的底面积和高不一定相等。 　√　 【答案】√。 【分析】圆柱体积＝底面积×高，据此举例说明即可。 【解答】解：两个圆柱的体积相等，它们的底面积和高不一定相等，说法正确，如一个圆柱的底面积和高分别是6和3，另一个圆柱的底面积和高分别是9和2，它们的体积都是18。 故答案为：√。 【点评】此题考查了圆柱体积的计算。 29．一个圆柱的体积和一个圆锥的体积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。 　×　 【答案】× 【分析】圆柱的体积和圆锥的体积大小与底面积和高都有关系，即使一个圆柱的体积和一个圆锥的体积相等，那么也不能确定圆柱的底与圆锥的高之间的关系。 【解答】解：一个圆柱的体积和一个圆锥的体积相等，还可能与底面积有关，所以圆锥的高是圆柱高几倍不能确定，原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查了圆柱和圆锥体积公式的应用。 30．圆柱体的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．　√　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆柱的特征，它的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高． 【解答】解：圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高； 所以原题说法正确； 故答案为：√． 【点评】此题主要考查圆柱的特征，以及圆柱的侧面展开得到的长方形的长和宽与圆柱的底面周长和高的关系． 31．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的9倍。 　×　 【答案】× 【分析】圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，则它的底面积就扩大到原来的9倍，在高不变的情况下，体积就扩大到原来的9倍，据此进行判断。 【解答】解：因为V＝πr2h，当r扩大到原来的3倍时，V＝π（r×3）2h＝πr2h×9，所以在高不变的情况下，体积就扩大到原来的9倍，原题没有说高是否变化，所以原题说法错误； 故答案为：×。 【点评】本题考查的是圆柱体积计算公式的运用，灵活运用所学的知识是解答本题的关键。 32．圆柱的底面周长和高相等时，它的侧面沿高展开是正方形。 　√　 【答案】√ 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高，当圆柱的底面周长和高相等时，这个圆柱的侧面展开图是正方形。据此判断。 【解答】解：圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高，当圆柱的底面周长和高相等时，这个圆柱的侧面展开图是正方形。 因此题干中的结论是正确的。 故答案为：√。 【点评】此题考查的目的是理解在圆柱侧面展开图的特征及应用，关键是明确：当圆柱的底面周长和高相等时，这个圆柱的侧面展开图是正方形。 33．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，它的高与底面半径的比是π：1。 　×　 【答案】× 【分析】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明这个圆柱的底面周长与高相等，据此解答。 【解答】解：设圆柱的底面半径为r，得： 圆柱的高＝底面周长＝2×π×r＝2πr 2πr：r＝2π：1 答：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，它的高与底面半径的比是2π：1。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题主要考查了圆柱体的侧面展开图的形状，以及展开图的长和宽与圆柱体的底面周长和高的关系，结合题意分析解答即可。 34．将一根圆柱形木料削成一个圆锥，圆锥体积是削去部分的　×　． 【答案】见试题解答内容 【分析】将一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥时，圆锥的体积是原来圆柱的体积的，由此即可判断． 【解答】解：将一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥时，最大的圆锥与原来圆柱等底等高， 所以圆锥的体积是原来圆柱的体积的，则圆锥体积是削去部分的， 但是原题中没有说明削成的是一个最大的圆锥，所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积的3倍关系的灵活应用，这里要注意数学语言的严密性、准确性． 35．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍． 　√　． 【答案】√ 【分析】圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，削去了两个圆锥的体积．也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍． 【解答】解：V圆柱＝3V圆锥 （V圆柱﹣V圆锥）÷V圆锥 ＝2V圆锥÷V圆锥 ＝2 答：削去部分的体积是圆锥体积的2倍． 所以原题的说法正确． 故答案为：√． 【点评】解答此题应明确等底等高的圆柱是圆锥的体积的3倍，是解答此题的关键． 四．计算题（共4小题） 36．计算圆柱的表面积和体积。 【答案】表面积1884平方厘米；体积是6280立方厘米。 【分析】根据圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面的面积；圆柱的体积等于底面积乘高。 【解答】解：3.14×102×2+3.14×10×2×20 ＝628+1256 ＝1884（平方厘米） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 答：圆柱的表面积1884平方厘米；体积是6280立方厘米。 【点评】本题主要考查圆柱表面积和体积的计算。 37．利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形（接头处忽略不计），求这个圆柱的体积。 【答案】169.56升。 【分析】通过观察图形可知，这个油桶的底面周长和底面直径的2倍的和是30.84分米，油桶的高等于圆柱的底面直径，根据圆的周长公式：C＝πd，可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出油桶的容积。 【解答】解：设圆柱油桶的底面直径为d分米。 3.14d+2d＝30.84 5.14d＝30.84 d＝6 3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 169.56立方分米＝169.56升 答：这个油桶的容积是169.56升。 【点评】此题主要考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的容积（体积）公式及应用，关键是熟记公式。 38．（1）求半圆的周长。（π取3.14） （2）如图，把一个底面半径是2dm、高是6dm的圆柱形木料，削成一个由两个圆锥体组成的零件。每个圆锥的高是原来圆柱高的一半，底面积和原来圆柱的底面积相等。求削去部分的体积。（π取3.14） 【答案】（1）20.56厘米； （2）50.24立方分米。 【分析】（1）根据半圆的周长公式：C＝πd÷2+d，把数据代入公式解答。 （2）因为等底等底高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的（1），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）3.14×4+4×4 ＝12.56+8 ＝20.56（厘米） 答：半圆的周长是20.56厘米。 （2）3.14×22×6×（1） ＝3.14×4×6× ＝75.36× ＝50.24（立方分米） 答：削去部分的体积是50.24立方分米。 【点评】此题主要考查半圆周长公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。关键是熟记公式。 39．如图所示，这个物体的体积是多少？ 【答案】28.26立方分米。 【分析】通过观察图形可知，这个圆柱的底面直径是3分米，高是4分米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（3÷2）2×4 ＝3.14×2.25×4 ＝28.26（立方分米） 答：这个圆柱的体积是28.26立方分米。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 五．应用题（共7小题） 40．一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8cm，高10cm，杯里装了一些水，把一个底面直径是4cm的圆锥形铁块放入（完全淹没），水面上升了0.5cm，圆锥的高是多少？ 【答案】6厘米。 【分析】根据体积的意义可知，把圆锥形铁块放入有水的圆柱形玻璃杯中（完全浸没，水未溢出），上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝V（πr2），把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（8÷2）2×0.5[3.14×（4÷2）2] ＝3.14×16×0.5×3÷[3.14×4] ＝25.12×3÷12.56 ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥的高是6厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 41．一个圆柱形玻璃缸，底面直径是6dm，高4dm，水深25cm，把一个底面半径是4dm的圆锥完全浸没在水中，水面上升到27cm，这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】3.375厘米。 【分析】圆锥的体积等于上升部分水柱的体积，利用圆柱体积公式：V＝π2h，计算圆锥的体积，再利用圆锥体积公式：Vπr2h计算圆锥的高即可。 【解答】解：27厘米＝2.7分米 25厘米＝2.5分米 3.14×（6÷2）2×（2.7﹣2.5） ＝3.14×9×0.2 ＝5.652（立方分米） 5.652÷3.1442 ＝5.652÷3.14×3÷16 ＝0.3375（分米） 0.3375分米＝3.375厘米 答：这个圆锥的高是3.375厘米。 【点评】本题主要考查圆柱和圆锥体积的应用。 42．如图，一只工具箱的下半部是棱长2分米的正方体，上半部是圆柱的一半。做这个工具箱需要多少平方分米材料？ 【答案】29.42平方分米。 【分析】通过观察可知这个工具箱的表面积为圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积的一半加上正方体5个面的面积，据此解答即可。 【解答】解：3.14×（2÷2）2+3.14×2×2÷2+2×2×5 ＝3.14+6.28+20 ＝9.42+20 ＝29.42（平方分米） 答：做这个工具箱需要29.42平方分米材料。 【点评】本题考查组合图形表面积的计算。 43．把一节长方体木料加工成一个最大的圆锥形积木，圆锥的体积最大是多少？ 【答案】84.78立方分米。 【分析】通过观察图形可知，把这个长方体木料加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径是6分米，高是9分米，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（6÷2）2×9 3.14×9×9 ＝84.78（立方分米） 答：圆锥的体积最大是84.78立方分米。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 44．一个底面周长37.68平方厘米，高1分米的圆锥形钢坯，熔铸成一个长12厘米，宽6.28厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】5厘米。 【分析】根据体积的意义可知，把圆锥形钢坯铸成长方体体积不变，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，长方体的体积公式：V＝abh，那么hV÷a÷b，把数据代入公式解答。 【解答】解：1分米＝10厘米 3.14×（37.68÷3.14÷2）2×10÷12÷6.28 3.14×36×10÷12÷6.28 ＝376.8÷12÷6.28 ＝31.4÷6.28 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 45．某甜品店准备推出一款新口味的沙冰，为满足不同人群的需求，店家为这款沙冰设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的沙冰及其定价如图所示。 价格表 A：15元 B：10元 （1）包装的侧面是一种环保材料，制作一个圆柱形包装至少需要多少平方厘米的环保材料？（接口处忽略不计） （2）你认为这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注明：忽略商场搞促销的策略） 【答案】（1）301.44平方厘米；（2）不合理。 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式解答即可，圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱的价格应当是圆锥的3倍，由此即可解答。 【解答】解：（1）3.14×8×12 ＝25.12×12 ＝301.44（平方厘米） 答：制作一个圆柱形包装至少需要301.44平方厘米的环保材料。 （2）圆柱的体积为： 3.14×（8÷2）2×12 ＝3.14×16×12 ＝50.24×12 ＝602.88（立方厘米） 圆锥的体积为： 3.14×（8÷2）2×12 ＝3.14×16×12 ＝50.24×12 ＝602.88 ＝200.96（立方厘米） 602.88÷200.96＝3 15÷3＝5（元） 答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。 【点评】熟练掌握圆柱的侧面积和圆柱、圆锥的体积的公式是解答本题的关键。 46．把一个长、宽、高分别为8厘米、7厘米、6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径为8厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？ 【答案】圆锥的高是21厘米。 【分析】熔铸成圆锥体，体积没变，等于长方体的体积，由此可以求出圆锥的体积为：8×7×6.28＝351.68（立方厘米），知道底面直径，可求出圆锥的底面积，然后利用圆锥的体积公式可以计算得出圆锥的高。 【解答】解：8×7×6.28＝351.68（立方厘米） 351.68×3÷[3.14×（8÷2）2] ＝1055.04÷[3.14×16] ＝1055.04÷50.24 ＝21（厘米） 答：圆锥的高是21厘米。 【点评】抓住熔铸前后的体积不变，是解决此类问题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$