精品解析：辽宁省营口市部分学校2023-2024学年高一下学期月考一数学试题

高一下学期数学 2024.3.2 时间120分钟 满分150分 姓名：________ 班级：________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，如，则， 无法得到. 若，则， 则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得. 【详解】向量不共线，则，由共线，得，， 于是，则且，解得， 所以实数的值为. 故选：C 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 4. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 5. 已知点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 6. 若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量. 【详解】由，则， 由在上的投影向量. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质求出函数的周期，再结合赋值法求出函数值. 【详解】函数的定义域为， 由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，即， 因此，即，则， 即函数的周期是8，由，得， 所以. 故选：D 8 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0） 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断. 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D. 若 .则△ABC为钝角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积，线性运算，坐标运算逐个选项求解即可. 【详解】利用，可得与共线且反向，判断A；，时，（）.可判断B；∠ABC为锐角，则，与不共线，得，即，可判断C；由，得（），可得.可判断D． 【解答】对于A：若两个非零向量，，满足，则与共线且反向，故A正确； 对于B：由，得（），已知，时，（）， 故，时满足.故B错误. 对于C：，， 由于∠ABC为锐角，则，解得， 与不共线，得，即，故C错误； 对于D：由 .得（）， ∴ ，∴，， ∴，∵，∴ ，∴△ABC为钝角三角形，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. 直线为图象的一条对称轴 B. 点为图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦函数的对称轴，对称中心，平移，单调性性质逐一判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，偶函数，故C正确； D：因为，所以，则函数在上先增后减，故D错误． 故选：AC． 三、填空题题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案. 【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为， 设，由，得， 故，即， 故， 故答案为： 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可. 【详解】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示. 因为正方形边长为，所以， 则、，则， 设的中点为，则，，所以，， 因为是半圆上的动点，设点， 则，其中，则， 所以，， 由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、）， ， 当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为， 可设点，其中，则， ，则， 同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、）， . 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题 15. 已知平面上三点，，且，． （1）若三点，，不能构成三角形，求的值； （2）若为直角三角形，求的取值集合． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析可得向量，由向量平行的判断方法可得答案； （2）根据题意，分类讨论三个内角分别是直角时的值，从而得到答案. 【小问1详解】 因为三点不能构成三角形，所以，，在同一条直线上， ，，解得． 【小问2详解】 由题意得，． 当是直角时，，,,解得； 当是直角时，，,,解得或； 当是直角时，，,,解得． 综上所述，的取值集合为：． 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）化简函数的解析式为，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解. （2）由，结合，得到，利用三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】（1）由题意得 ， 因为，所以， 令，解得； 令，解得， 令，得. 所以函数在上的单调递增区间为，， 单调递减区间为. （2）由（1）知. 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结： 1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系； 3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）. 17. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为中点，，设. （1）求角的取值范围； （2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解. （2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时， 因为，所以， 当点位于点时，取得最大值，角取最小值， 由对称性知此时，所以， 所以角的取值范围是. （2）在直角中，且，所以， 在直角中，且，所以， 在中，由勾股定理得， 因为，所以，所以， 所以， 令， 因为，可得，所以， 又由，可得， 因为函数在区间上单调递减， 当时，，此时，解得， 所以当时，的周长取得最小值，最小值为. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 18. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中． （1）求的值； （2）求面积的最小值，并指出相应的的值． 【答案】（1） （2）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以； （2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值. 【小问1详解】 延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点， 则， 由，，得， 又三点共线，所以，即． 【小问2详解】 是边长为1的正三角形，则， ． 由，则， ，，解得， ． 设，则， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当，即时，取得最小值． 【点睛】方法点睛： 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用换元法结合三角函数性质计算即可得； （2）使用换元法分类讨论计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 令， 则， 由，则，故，又，故， 即的值域为； 小问2详解】 令，则， 当时，，， 则， 由，即，化简得， 令，， 由，故，故在上单调递增， 故，解得； 当时，，， 故， 则有，即， 由，故有，， 解得， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用换元法，将复杂的三角函数转化为熟悉的二次函数问题，再结合分类讨论的思想即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期数学 2024.3.2 时间120分钟 满分150分 姓名：________ 班级：________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 5. 已知点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. （ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0） 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D. 若 .则△ABC为钝角三角形 11 已知函数，则（ ） A. 直线为图象的一条对称轴 B. 点为图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称 D. 在上单调递增 三、填空题题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知平面上三点，，且，． （1）若三点，，不能构成三角形，求的值； （2）若为直角三角形，求的取值集合． 16. 已知函数. （1）求函数在上单调区间； （2）若，，求的值. 17. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设. （1）求角的取值范围； （2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 18. 如图，已知点是边长为1正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中． （1）求的值； （2）求面积最小值，并指出相应的的值． 19. 已知函数 （1）若，求值域； （2）若，都有恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$