精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题

雅礼中学2025届高三一模试卷数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于；  选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大.  选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.  选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大. 综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.  故选：A. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 3. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数z的代数形式，再求出对应点满足的关系判断得解. 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 4. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 5. 在 中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为的中点得到，再由，即可求解； 【详解】因为，所以为的中点，所以． 又，所以，所以， 所以， 所以，所以． 故选：C 6. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设推出函数的周期性和图象的对称性，再利用这些性质推出，根据和，利用周期性即可求得结果. 【详解】因对于，，则， 故函数为周期函数，4是函数的一个周期， 又是上的奇函数，则，故的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 8. 已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解. 【详解】如图，点C在面APB内的射影为PM的中点，设PM的中点为N，则有平面， 平面，所以，可知， 又，， 则，，， ，M为AB的中点，则M为的外心， 所以三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，则有， 过作 的平行线，与相交于点，则有为矩形， 所以，， 设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R， 有，， 在和中，由勾股定理，得， 解得，所以， 所以球O的表面积为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：ACD. 10. 设，已知函数（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，存在最小值 C. 设，则 D. 设，若存在最小值，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：取，画图即可判断，对于B，由函数单调性即可判断；对于C,数形结合即可判断，对于D：先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，分析可解. 【详解】对于A，取，画出函数图象， 可知在不是单调递减；故A错误； 对于B：对于B，当时， 当时，； 当时，显然取得最小值； 当时，， 综上：取得最小值，故B正确； 对于C，结合图像， 易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故C正确； 依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为 的圆在轴下方的图象（即半圆）； 当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线； 因为， 结合图象可知，要使取得最小值，则点在上， 点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径 ， 此时，因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然要保证在上，才能满足取得最小值， 所以只需，即都可满足题意，保证， 否则无最小值，故.D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项，解决的关键求出，且上，从而可得 的取值范围. 11. 已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A. 曲线C关于直线对称 B. ， C. 曲线C被直线截得的弦长为 D. 曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，则， 故答案为： 13. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个， 的所有可能取值构成的集合是__________. 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】分两种情况得出 的所有可能值以及相应的的个数； 【详解】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则 为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当 的值为时，有4个；当 的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个， 的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：7； 14. 已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点的轨迹，再数形结合求点的轨迹长度. 【详解】第一步：结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点的轨迹 因为，所以直线与所成的角为， 因为底面，所以点的轨迹是以为轴（其中为顶点，为底面圆心），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线．（关键：由相交的两条直线的夹角为定值，能联想到圆锥的母线与轴之间的位置关系，从而找到点的运动轨迹） 第二步：数形结合求点的轨迹长度 如图，在线段和上分别取点，使得，（提示：因为，且与所成的角为，所以计算可得圆锥的底面半径为3，故取） 连接，则点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且． 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，3为半径的圆的三分之一．（提示：，故符合要求的弧长为圆的） 综上，点的轨迹长度为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点的轨迹. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记 的内角， ，的对边分别 ， ，，已知． （1）求； （2）设是边中点，若，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解. （2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解. 【小问1详解】 在 中，由正弦定理及， 得，又， 则，而， 化简得，即，而，因此， 所以. 【小问2详解】 在 中，由，得，， 由正弦定理，得，由是边中点，得， 则，因此， 在中，由正弦定理，得. 16. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 【答案】（1） （2） （3）引入两条生产线 【解析】 【分析】（1）由题意，得到的解析式，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可解； （2）设事件为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品 治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，代入概率公式求解即可； （3）设随机变量为生产药品产生的年利润，分别讨论投入1条，2条，3条生产线时所对应的概率，代入期望公式求解，比较大小即可得解. 【小问1详解】 100个病人中恰好有80人被治愈的概率为， 则， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值点为. 【小问2详解】 设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”， 事件“该患者服用药品 治疗”，事件“该患者服用药品治疗”， 则 因此： 所以. 【小问3详解】 设随机变量为生产药品产生的年利润 ①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行， 此时对应的年利润 ②若投入2条生产线，当，1条生产线运行， 年利润，当时，2条生产线运行， 年利润， 此时的分布列如下： 700 2000 所以； ③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行， 年利润 ， 当时2条生产线运行，年利润， 当时，3条生产线运行，年利润， 此时的分布列如下： 400 1700 3000 所以 综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线. 17. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减 （2） 当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性； （2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 由，则函数，易知其定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，，显然当时，函数在上单调递增， 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减. 【小问2详解】 由时，则函数，可得，解得或， 所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数， 当时，则函数， 当时，函数在上单调递增，此时无极值； 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为， 由函数为偶函数，则函数的极大值为， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 18. 在平行四边形中（如图1），，为 的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段 上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）如图，连接 ，则， 由余弦定理得， 在中，有， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可； （3）由题意，求出的坐标，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由（1）知平面.又平面， 所以平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，由平面，得， 过作，则，又， 建立如图空间直角坐标系， 则， 得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 得，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 易知平面的一个法向量为. 由（2）知，， 由，得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 得，设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 【答案】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列； （2） （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 令 ，有， 故当时，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点的坐标，得到数列的递推关系式，即可证明等比数列； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和； （3）根据（2）的结果求点，的坐标，再求直线的直线方程，即可判断定点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有， 由数列是公比为的等比数列，有， 有， 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据导数的几何意义判断数列的递推关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025届高三一模试卷数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 4. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 10. 设，已知函数（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，存在最小值 C. 设，则 D. 设，若存在最小值，则 11. 已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A. 曲线C关于直线对称 B. ， C. 曲线C被直线截得的弦长为 D. 曲线C上任意两点距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则_____． 13. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 14. 已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别，，，已知． （1）求； （2）设是边中点，若，求． 16. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 17. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $