4.3中心对称培优练习2024—2025学年浙教版数学八年级下学期

4.3中心对称培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册 一、选择题 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A．B． C．D． 4．如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（　　） A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA 5．如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 第4题图 第5题图 第2题图 二、填空题 6．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 　 　个． 7．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　 　． 8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　 　． 第6题图 第8题图 第7题图 9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ 　 　． 10．婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB、CD交于点E，弦AB和CD将圆分成了四个部分，其面积分别记为S1、S2、S3、S4，若点O到AB和CD的距离分别为2和1，则S1+S3﹣S2﹣S4＝　 　． 第10题图 第9题图 11．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P． （1）求证：AC＝CD； （2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，4），（5，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　 　； （2）求用含k的代数式表示b； （3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 13．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）直接写出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1的对称点A1、B1、C1的坐标； （2）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （3）求△A1B1C1的面积． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称； （2）若AB＝AD+BC，求证：△ABF是等腰三角形． 15．《义务教育数学课程标准》指出平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，核心是平面上的点与坐标是一一对应的，用代数的方法表达图形变化，用平面直角坐标系解决几何问题，是数形结合的重要运用． 如图，正方形OABC的顶点B的坐标为（2，﹣2），D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞2），以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限． （1）试判断线段AD与CF的关系，并说明理由； （2）设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 B A D D D 1．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析判断如下： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意． 故选：B． 2．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB， ∴，AC＝CD， ∵AE＝3，∠D＝90°， 根据勾股定理可得：， ∴． 故选：A． 3．【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 4．【解答】解：观察图形可知，与△NCP成中心对称的是△NDA． 故选：D． 5．【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E， 则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称． 故选：D． 二、填空题 6．【解答】解：平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质判断如下： 如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 7．【解答】解：如图，连接AC，OB， ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD， 令S△AOB＝S△BOC＝S， ∵EFAB，GHBC， ∴S△EOFS，S△GOHS， ∴． 故答案为：． 8．【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E， ∵A′D⊥b于点D． ∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°， ∴四边形A′DOF是矩形， ∴A′F＝OD＝3， 同理可知，四边形ABOE是矩形， ∴AE＝OB＝4， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， ∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 9．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2， ∴CE＝BC，S△DEC＝S△ABC， ∴， ∴S△DEC＝5， 故答案为：5． 10．【解答】解：如图，作弦AB、CD关于O的对称弦， 根据圆的对称性可知， S①＝S②，S③＝S④，S⑤＝S⑥＝S⑦＝S⑧， 所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S②+S③+S⑥+S⑦+S长方形EFGH﹣S①﹣S④﹣S⑤﹣S⑧＝S长方形EFGH． 又因为点O到AB和CD的距离分别为2和1， 所以EF＝2，EH＝4， 所以S1+S3﹣S2﹣S4＝S长方形EFGH＝2×4＝8． 故答案为：8． 三、解答题 11．【解答】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB＝AC， 又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB＝CD， ∴AC＝CD； （2）解：∠F＝∠MCD． 理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA， ∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF， ∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α， 设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β， ∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β， ∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β， ∴∠F＝∠MCD． 12．【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴AB可由OC平移得到， ∵点A（﹣2，4），点C（5，1），O（0，0）， ∴B（5﹣2，1+4）， 即B（3，5）， 故答案为：（3，5）； （2）将B（3，5）代入y＝kx+b，得：3k+b＝5， ∴b＝5﹣3k； （3）一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， ∴当一次函数y＝kx+b的图象将平行四边形OABC分成面积相等的两部分时，图象必过（0，0）点， 由（2）知：y＝kx+5﹣3k， ∴5﹣3k＝0， ∴； （4）当直线y＝kx+b经过A点时，得， 解得：， 当直线y＝kx+b经过C点时，得， 解得：k＝﹣2， ∵一次函数y＝kx+b的图象与平行四边形OABC的边只有两个公共点， ∴或k＜﹣2． 13．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（3，4），C（2，2）， ∴A1（0，﹣3），B1（﹣3，﹣4），C1（﹣2，﹣2）； （2）如图，△A1B1C1即为所求， （3）△A1B1C1的面积为． 14．【解答】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段CD的中点，DE＝EC， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE，AD＝CF， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵AB＝AD+BC， ∴AB＝BF， ∴△ABF是等腰三角形． 15．【解答】解：（1）AD＝CF，理由如下： 连接AD，CF， ∵四边形OABC、BDEF为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBF＝90°，BD＝BF， ∴∠ABC+∠DBC＝∠DBF+∠DBC， ∴∠ABD＝∠CBF， ∴△ABD≌△CBF（SAS）， ∴AD＝CF； （2）不变， 过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，过点M作MN⊥x轴，垂足为N， ∵∠BCD＝∠DBF＝∠H＝90°， ∴∠CBD+∠FBH＝90°，∠FBH+∠BFH＝90°， ∴∠CBD＝∠BFH， ∵BD＝BF， ∴△BCD≌△FHB（AAS）， ∵D（m，0）， ∴CD＝BH＝m﹣2，BC＝FH＝2， ∴F（4，﹣m）， ∵M为DF的中点， ∴， 在△CMN中，，， ∴△CMN是等腰直角三角形， ∴∠OCG＝∠NCM＝45°， ∴△OCG是等腰直角三角形， ∴OG＝OC＝2， ∴点G的坐标为（0，2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$