9.1 向量概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第9章 平面向量 9.1 向量概念 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,会用有向线段和字母表示向量. 2.理解向量的有关概念:零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的概念与表示 逐点清(二) 平行向量、相等向量 及相反向量 逐点清(三)　向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的概念与表示 01 多维理解 1.向量的定义与表示 定义 既有_____又有_____的量叫作向量 表示 方法 ①几何表示:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所指的方向表示向量的_____.以A为起点、B为终点的向量记为. ②字母表示:用小写字母a,b,c来表示 大小 方向 大小 方向 2.模、零向量、单位向量 长度(模) 向量的_____称为向量的长度(或称为模),记作_____ 零向量 长度为_____的向量称为零向量,记作0,零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于_______________的向量,叫作单位向量 大小 || 0 1个单位长度 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素. (4)零向量方向任意,不能认为零向量无方向. (5)向量不能比较大小,向量的模为非负实数,能比较大小. 微点练明 1.(多选)已知向量a如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M √ √ √ 2.下列命题正确的是 (　　) A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量 解析:温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确; 有向线段由起点、方向、长度三要素组成,C错误; 单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误. √ 3.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,那么这些向量的终点形成的图形是 (　　) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 解析:由单位向量的定义知,这些向量终点都在单位圆上. √ 4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量,,; 解:向量,,,如图所示. (2)求||. 解:由题意,可知AB∥CD,∵||=||, ∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC,∴||=200. 逐点清(二) 平行向量、相等向量 及相反向量 02 多维理解 平行 向量 方向____________的非零向量叫作平行向量,平行向量又称为共线向量. ①记法:向量a与向量b平行,记作_______. ②规定:零向量与__________平行 相同的 向量 所有长度_____且方向_____的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量,也称a与b相等,记作______ 相反 向量 ①把与向量a长度相等,方向______的向量叫作a的相反向量,记作_____,a与-a互为相反向量.对任意一个向量a,总有-(-a)=______. ②规定:零向量的相反向量仍是________ 相同或相反 a∥b 任一向量 相等 相同 a=b 相反 -a a 零向量 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行,忽视这一点容易出现错误. 微点练明 1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 (　　) A.0　　　　　　 B.a C.b　　　　　　 D.不存在这样的向量 解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A. √ 2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量, A错误; 与互为相反向量,B错误; 与满足相等向量的定义,C正确; 与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C. √ 3.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　　) A.向量,的模相等 B.||= C.向量,共线 D.||+||=10 √ 解析:因为||==,||==2,所以||≠||, A错误. ||==,B正确. 因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF.所以向量,共线,C正确. ||+||=2+=5≠10,D错误. 4.如图,E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点. (1)在以A,B,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量共线的向量; 解:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,所以与向量共线的向量为,,,,,,. (2)在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,找出与向量的模相等的向量; 解:因为△ABC是正三角形,所以AB=AC=BC.因为E,F,G依次是正△ABC的边AB,BC,AC的中点,所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG,所以在以A,B,C为起点,E,F,G为终点的向量中,与向量的模相等的向量为,,,,,. (3)在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,找出与向量相等的向量. 解:在以E,F,G为起点,A,B,C为终点的向量中,与向量相等的向量为. 逐点清(三)　向量的夹角与垂直 03 多维理解 (1)定义:对于两个非零向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). (2)范围:________________. (3)当θ=_____时,a与b同向;当θ=______时,a与b反向; 当θ=_____时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b. 0°≤θ≤180° 0° 180° 90° |微|点|助|解| (1)两向量的夹角是对两个非零向量而言的,零向量与任一向量不存在夹角问题. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 微点练明 1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,则向量与的夹角为(　　) A.　 B.　　 C.　 D. √ 解析:∵AB2+BC2=AC2,∴△ABC为直角三角形, 且B=,∠BCA=.如图,延长AC至D,使AC=CD, 则=,所以∠BCD即为向量与的夹角, 则∠BCD=π-=. 2.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A=60°, 则下列说法正确的是 (　　) A.和的夹角为0° B.与的夹角为60° C.与的夹角为120° D.与的夹角为60° √ 解析:根据向量夹角的定义,知和的夹角为180°,与的 夹角为120°,与的夹角为60°,与的夹角为60°,故选D. 3.如图,已知以O为圆心,1为半径的圆上有8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标出的9个点为起点和终点作向量. (1)与的夹角是多少? 解:由题意,得弧DE所对的圆心角是45°,即有∠DOE=45°,所以与的夹角为45°. (2)与垂直的向量有哪些? 解:由题易知BF是圆O的直径,OD⊥BF, CE∥BF∥AG,如图所示,所以与垂直的向量有,,,,,,,,,. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析:速度、位移是向量,既有大小,又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.如图,在正方形ABCD中,与的夹角为 (　　) A.30° B.90° C.120° D.180° 解析:因为ABCD是正方形,所以向量与的夹角是90°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.下列结论正确的是 (　　) A.零向量的大小为0,没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量,终点必相同 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:既有大小又有方向的量叫向量,则零向量既有大小又有方向,故A错误; 由于与方向相反,长度相等,故B正确; 起点相同的单位向量,终点不一定相同,故C错误; 若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则(　　) A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 解析:由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线互相平分且相等,所以四边形ABCD为矩形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若a=b,则a∥b C.若|a|>|b|,则a>b D.若|a|=0,则a=0 解析:当a=-b时,不满足|a|≠|b|,A错误; 若a=b,则a∥b,B正确; 若|a|>|b|,则a与b不能比较大小,C错误; 若|a|=0,则a=0,D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(多选)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是 (　　) A.= B.∥ C.||=|| D.= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题图可知,||=||,但,的方向不同,故≠,D不正确,其余均正确,故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2,则||等于(　 ) A.1 B. C. D.2 解析:如图,连接AC,由||=||,得∠ABC=∠OCB=30°. 因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°.所以||=||=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 √ 解析:每个正方形的边长为1,则对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,一共有12个正方形,故共有24个所求向量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:根据相同的向量的定义,A中,与的方向不同,故A错误; B中,与的方向不同,故B错误; C中,与的方向相反,故C错误; D中,与的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论一定成立的是 (　　) √ A.||=|| B.||=|| C.= D.=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,∴∠DCG+ ∠GCE=180°,即D,C,E三点共线,∴AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥ HG∥HF,即||=||,=-,与共线,且||=||,A、 B、D正确;若与共线,则必有∠BDC=∠HED,即∠GCE= 2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立,如∠GCE=90°时, ∠HED≠45°,故与共线不一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则=　　　. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　 　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　　　　.(填图中所画出的向量)  , ,, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为,;与的夹角为120°的向量为,,. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则与相等的向量为　　　　　　　,的相反向量为　　　　　　　　. ,, ,,, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有,,.的相反向量有,,,. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点分别为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量? 解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,构成互不相等的非零向量.当模长为||时,有2个,为, ,当模长为||时,有2个,为,, 当模长为||时,有2个,为,,当模长为||时,有2个,为,,总共有8个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示. 解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T中元素的个数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由题可知,S中任意两点连成的有向线段共有20个,即,,, ;,,,;,,,;,,,;,,,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=, =,=,=,=,=,=.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个. $$