10.3 第2课时 半角公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

半角公式 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.能用二倍角公式推导半角公式,了解半角公式的结构形式. 2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 　　正弦、余弦、正切的半角公式 三角函数 公式 正弦 sin=___________ 余弦 cos=___________ 正切 tan=± == ± ± |微|点|助|解| 　　关于半角公式的几点说明 (1)理解半角的含义:角是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角. (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法 ①若给出的角已确定其终边所在的象限,则可根据下表确定符号. α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 +、- +、- + 第二象限 第一、三象限 +、- +、- + 第三象限 第二、四象限 +、- -、+ - 第四象限 第二、四象限 +、- -、+ - ②若给出角α的范围(即某一区间),可先求出的范围,然后再根据的范围确定符号. ③若给出的角的象限不确定,则需分类讨论. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)sin 15°=± . (　 ) (2)cos 15°=. (　 ) (3)tan=. (　 ) × × × 2.已知180°<α<360°,则cos的值为(　 ) A.- B. C.- D. 解析:因为cos2=,180°<α<360°,所以90°<<180°. 所以cos=-. √ 3.tan 15°等于 (　　) A.2+ B.2- C.+1 D.-1 解析:由tan=,得tan 15°==2-. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用半角公式求值 [例1]　已知cos α=,α为第四象限角,求sin,cos,tan. 解:∵α为第四象限角,∴为第二、四象限角. 当为第二象限角时,sin==,cos=-=-,tan= -=-;当为第四象限角时, sin=-=-,cos==,tan=-=-. |思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路 (1)观察角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. (4)下结论:结合(2)求值. 针对训练 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. 解析:因为α为锐角,所以sin>0,sin==. √ 2.已知α为锐角,cos α=,则tan=(　 ) A. B. C.2 D.3 解析:∵α为锐角,cos α=, ∴sin α=. ∴tan===. ∴tan===3. √ 题型(二)　三角函数式的化简 [例2]　化简:(-π<α<0). 解:原式= = ==. 因为-π<α<0,所以-<<0. 所以sin <0. 所以原式==cos α. |思|维|建|模| 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少; ③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数 不含三角函数. (2)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 针对训练 3.设α∈,化简:. 解:∵α∈,∈, ∴cos α>0,cos <0.故原式==== =-cos. 题型(三)　三角恒等式的证明 [例3]　求证:+=. 证明:法一　左边=+ =+ ===右边.所以原式成立. 法二　左边 = ====右边.所以原式成立. |思|维|建|模| 三角恒等式证明的5种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立 针对训练 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=, 求证:=. 证明:因为cos A=, 所以1-cos A=, 1+cos A=. 所以=. 而==tan2, ==tan2, 所以tan2=·tan2, 即=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为(　 ) A. B.- C. D.- 解析:由题意知∈, ∴cos>0,cos==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知cos 2α=-,且α∈,则sin α的值为(　 ) A. B. C.- D.- 解析:∵α∈,∴sin α>0.∵cos 2α=-,∴由半角公式可得sin α= =.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则tan =(　 ) A. B.-3 C.-3或 D.3或- 解析:由三角函数的定义可得sin α==,cos α==. 所以tan=====.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)tan 75°= (　 ) A.2+ B. C. D.tan 25°tan 35°tan 85° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故 A正确; 由正切的半角公式知tan 75°=,故B错误; tan 75°===,故C正确; 由tan(60°-α)tan(60°+α)tan α=tan 3α,令α=25°,得tan 75°= tan 25°tan 35°tan 85°,故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设a=cos212°-sin212°,b=,c=,则(　 ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c 解析:因为a=cos212°-sin212°=cos 24°,b==tan 24°<tan 30°= <=cos 30°<cos 24°=a,c==sin 24°<=tan 24°=b, 所以c<b<a,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设5π<θ<6π,cos=,则sin=　　　　.  解析:∵<<,∴sin<0. ∴sin=- =-=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知sin-cos=-,且α∈,则tan=　　　　.  解析:由条件知∈,∴tan>0.∵sin-cos=-,∴1-sin α=. ∴sin α=,cos α=-,tan==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　,sin-cos=　　　　.  解析:因为θ∈(π,2π),所以∈. 所以sin==, cos=-=-. 所以sin+cos=,sin-cos=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)求证:-tan θ·tan 2θ=1. 证明:-tan θtan 2θ=- == ===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知π<α<,化简+. 解:原式= +. ∵π<α<,∴<<.∴cos<0,sin>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴原式=+ =-+ =-cos . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形,它是最美的三角形.例如,正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成,且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形,如图所示,在黄金三角形ABC中,=.根据这些信息,可求得cos 324°的值为(　 ) A. B.- C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:在等腰△ABC中,cos 72°==,∴cos 324°=cos 36°= ==.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在△ABC中,已知tan=sin C,则△ABC的形状为(　 ) A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:在△ABC中,tan=sin C=sin(A+B)=2sincos, 所以2cos2=1.所以cos(A+B)=0,从而A+B=,△ABC为直角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若sin=-,0≤α≤π,则tan α的值是　　　　.  解析:因为-=-= sin+cos-=sin,所以2cos=sin或sin=0.所以tan= 2或sin=0.当tan=2时,tan α===-, 当sin=0时,tan α=0.综上可知,tan α的值是-或0. -或0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在△ABC中,若cos A=,cos B=,求sin,cos,tan的值. 解:因为A,B,C均为三角形的内角,所以sin A==, sin B==. 所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=. 所以sin===, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 cos===, tan==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知向量m=(cos θ,sin θ),n=(-sin θ,cos θ),θ∈(π,2π),若|m+n|=,求cos的值. 解:因为|m+n|=,所以|m+n|2=,即|m|2+|n|2+2m·n=. 所以cos2θ+sin2θ+(-sin θ)2+cos2θ+2[cos θ(-sin θ)+sin θcos θ]=, 整理得(cos θ-sin θ)=. 所以cos=.又因为θ∈(π,2π), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以+∈.所以cos<0. 故cos=-=-=-. 阶段质量评价（二） (单击进入电子文档) $$