1.4.2 向量线性运算的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.4.2 向量线性运算的坐标表示 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平面向量线性运算的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2).   文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的____ a+b=_______________ 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的____ a-b=_____________ 和 (x1+x2，y1+y2) 差 (x1-x2，y1-y2) 数乘向量 一个实数λ与向量a的积的坐标等于这个数______向量相应的坐标 λa=(λx1，λy1) 重要结论 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1) =(x2-x1，y2-y1) 续表 乘以 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是 ___________. x1y2-x2y1=0 |微|点|助|解|　 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a=λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算. (3)a∥b⇔=，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 基础落实训练 1.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则2b-a等于(　　) A.(-2，1)　　　　　　 B.(5，-1) C.(5，0) D.(4，3) √ 2.下列各对向量中，共线的是 (　　) A.a=(2，3)，b=(3，-2) B.a=(2，3)，b=(4，-6) C.a=(，-1)，b=(1，) D.a=(1，)，b=(，2) √ 3.已知点A(2，-2)，点B(4，1)，则向量=________.  4.已知a=(-1，2)，b=(3，y)，且a∥b，则y=_____.  (2，3) -6 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量的坐标运算 [例1]　(1)(多选)已知a=(1，3)，b=(-2，1)，下列计算正确的是 (　　) A.a+b=(-1，4) B.a-2b=(5，1) C.b-a=(1，2) D.-a-b=(1，2) 解析：因为a=(1，3)，b=(-2，1)，所以a+b=(-1，4)，故A正确；a-2b=(5，1)，故B正确；b-a=(-3，-2)，故C错误；-a-b=(1，-4)，故D错误. √ √ (2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且=3=2，则的坐标为_________.  解析：由A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，可得=(-2，4)-(-3，-4)= (1，8)，=(3，-1)-(-3，-4)=(6，3).所以=3=3(1，8)=(3，24)，=2=2(6，3)=(12，6).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则=(x1+3，y1+4) =(3，24)，x1=0，y1=20；=(x2+3，y2+4)=(12，6)，x2=9，y2=2.所以M(0，20)，N(9，2)，=(9，2)-(0，20)=(9，-18). (9，-18) |思|维|建|模| 利用向量线性运算的坐标表示解题的基本思路 (1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用. (2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解. (3)利用坐标运算求向量的基表示，一般先求出基向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 针对训练 1.已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c= (　　) A.(-23，-12)　　　　　　 B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) 解析：∵a=(5，2)，b=(-4，-3)，且c满足3a-2b+c=0，∴c=2b-3a=2(-4，-3)-3(5，2)=(-8-15，-6-6)=(-23，-12). √ 2.已知a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，则c用向量a，b可表示为_________.  解析：设c=pa+qb(p，q∈R)，∵a=(-1，2)，b=(1，-1)，∴c=pa+qb=p(-1，2)+q(1，-1)=(-p+q，2p-q).又∵c=(3，-2)，∴ 解得故c=a+4b. c=a+4b 题型(二)　向量共线的判定与证明 [例2]　设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上? 解：=(2x，2)-(x，1)=(x，1)， =(1，2x)-(2x，2)=(1-2x，2x-2)， =(5，3x)-(1，2x)=(4，x).由与共线，所以x2=1×4，所以x=±2. 又与方向相同，所以x=2. 此时，=(2，1)，=(-3，2)， 而2×2≠-3×1，所以与不共线， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. 所以A，B，C，D不在同一条直线上. |思|维|建|模| 　　判断向量共线时，应充分利用向量共线的充要条件或共线向量坐标的条件进行判断，特别是利用共线向量坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配. 针对训练 3.已知A(-3，0)，B(9，-3)，C(3，6)三点，==.求证：∥. 证明：∵=(3，6)-(-3，0)=(6，6)， ==(2，2)， ∴点E坐标为(-3，0)+(2，2)=(-1，2). ∵=(3，6)-(9，-3)=(-6，9)， ==(-2，3)， ∴点F坐标为(9，-3)+(-2，3)=(7，0). ∴=(7，0)-(-1，2)=(8，-2). 又=(9，-3)-(-3，0)=(12，-3)， ∴由8×(-3)-12×(-2)=0， 得∥. 题型(三)　已知平面向量共线求参数 [例3]　已知a=(1，2)，b=(2，k)，c=(8，7). (1)当k为何值时，a∥(b+c)； 解：∵a=(1，2)，b=(2，k)，c=(8，7)， ∴b+c=(10，k+7).令1×(k+7)-2×10=0，解得k=13， ∴当k=13时，a∥(b+c). (2)当k=1时，求满足c=ma+nb的实数m，n. 解：当k=1时，b=(2，1).由c=ma+nb，得(8，7)=(m+2n，2m+n)，∴解得 |思|维|建|模| 根据向量共线条件求参数的思路 　　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线的充要条件a=λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. 针对训练 4.已知向量=(3，-4)，=(0，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为______.  解析：由向量=(3，-4)，=(0，-3)，=(5-m，-3-m)，可得==(-3，1)，==(m-5，m). 若点A，B，C不能构成三角形， 则A，B，C三点共线，可得∥， 所以-3m=m-5，解得m=. 5.已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当实数k为何值时，(ka+b)∥(a-3b)?这两个向量的方向是相同还是相反? 解：∵a=(1，2)，b=(-3，2)， ∴ka+b=(k-3，2k+2)，a-3b=(10，-4). 由题意得(k-3)(-4)-10(2k+2)=0， 解得k=-.此时ka+b=-a+b=-(a-3b)， ∴当k=-时，(ka+b)∥(a-3b)， 并且它们的方向相反. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.已知向量a=(2，4)，a+b=(3，2)，则b等于(　　) A.(1，-2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 解析：b=a+b-a=(3，2)-(2，4)=(1，-2). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基的是 (　　) A.a=(0，0)，b=(2，3) B.a=(1，-3)，b=(2，-6) C.a=(4，6)，b=(6，9) D.a=(2，3)，b=(-4，6) 解析：只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基，故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是 (　　) A.2m-n=3 B.n-m=1 C.m=3，n=5 D.m-2n=3 解析：因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以= λ，所以(1，m-3)=λ(2，n-3)，所以λ=，所以m-3=(n-3)，即2m-n=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= (　　) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 解析：设d=(x，y)，由题意知4a=(4，-12)，4b-2c=(-6，20)，2(a-c)= (4，-2)，易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，解得x=-2，y=-6，所以d=(-2，-6). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知A(1，-3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　) A.(-9，1) B.(9，-1) C.(9，1) D.(-9，-1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以∥.因为=-(1，-3)==(x，y)-(1，-3)=(x-1，y+3)，所以7(y+3)-(x-1)=0，整理得x-2y=7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.与向量a=(-3，4)平行的单位向量是____________________.  解析：设与a平行的单位向量为e=(x，y)， 则∴或 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b等于_________.  解析：∵a∥b，∴1×m-(-2)×2=0， ∴m=-4，∴a=(1，2)，b=(-2，-4)， ∴2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8). (-4，-8) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知向量a=(2，-3)，b=(1，2)，p=(9，4)，若p=ma+nb，则m+n =____.  解析：由于p=ma+nb，即(9，4)=(2m，-3m)+(n，2n)=(2m+n，-3m+2n)， 所以解得所以m+n=7. 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). 综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或(7，-6). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+4b与a-2b共线，求m的值，并判断ma+4b与a-2b是同向还是反向. 解：ma+4b=(2m，3m)+(-4，8)=(2m-4，3m+8)，a-2b=(2，3)-(-2，4)= (4，-1)， 因为ma+4b与a-2b共线， 所以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0，得m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当m=-2时，ma+4b=(-8，2)， 所以ma+4b=-2(a-2b)， 所以ma+4b与a-2b方向相反. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.已知a=(1，2sin α)，b=(cos α，sin α)，α∈，若a∥b，则α=(　　) A. B. C.π D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵a=(1，2sin α)，b=(cos α，sin α)，α∈，且a∥b， ∴1×sin α=cos α×2sin α. 当α=π时，sin α=0，此时a=(1，0)，b=(-1，0)，满足a∥b； 当α≠π时，sin α≠0，要使a∥b，只需cos α=，又α∈， ∴不存在满足题意的α. 综上所述，α=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.如图，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)， C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为 _______.  解析：由题意知=(5，4)，=(-3，6)，=(4，0). 由B，P，D三点共线可得=λ=(5λ，4λ). 又因为==(5λ-4，4λ)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ=，所以==， 所以P的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(13分)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，-2)，C(4，1). (1)若=，求D点的坐标； 解：设D(x，y)，因为=，所以(2，-2)-(1，3)=(x，y)-(4，1)，整理得(1，-5)=(x-4，y-1)，即有解得 所以D(5，-4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设向量a=，b=，若向量ka-b与a+3b平行，求实数k的值. 解：因为a==(1，-5)，b==(4，1)-(2，-2)=(2，3)，所以ka-b=k(1，-5)-(2，3)=(k-2，-5k-3)，a+3b=(1，-5)+3(2，3)=(7，4). 因为向量ka-b与a+3b平行，所以7(-5k-3)-4(k-2)=0，解得k=-. 所以实数k的值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(3，4)，C(2x-1，4x). (1)若A，B，C三点共线，求x的值； 解：由题意得=(2，3)，=(2x-2，4x-1)， ∵A，B，C三点共线，∴∥.由∥得，2×(4x-1)=3×(2x-2)，解得x=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若D在AB的延长线上，且|AD|=3|AB|，求D点的坐标. 解：由题意得，=3，设D点坐标为(m，n)，于是= (m-1，n-1)，∴(m-1，n-1)=3(2，3)=(6，9)，解得m=7，n=10， ∴D点的坐标为(7，10). $$