1.6.3 解三角形应用举例（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.6.3 解三角形应用举例 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 课时目标 能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　测量距离问题 题型(二)　测量高度问题 题型(三)　测量角度问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　测量距离问题 01 [例1]　如图是隋唐天坛,古叫圜丘,它位于唐长安 城明德门遗址东约950米,即今西安市雁塔区陕西 师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末,比北 京明清天坛早1 000多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°,∠BCD=120°,据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732, ≈2.236,≈2.646)(　　) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 解析:在△ACB中,AB=60,BC=60,∠ABC=60°,所以AC=60.在△CDA中,AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos 60°=602+402-2×60×40×=2 800,所以AD=20≈53(米). √ |思|维|建|模| 距离问题的类型及解法 (1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 针对训练 1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于_____m.  (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73) 60 解析:过点A作AD垂直于CB的延长线,垂足为D(图略),则在Rt△ADB中,∠ABD=67°,AD=46,则AB=.在△ABC中,根据正弦定理得BC==46×≈60(m). 2.A,B两地之间隔着一个山岗,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km, CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为_______km.  解析:由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2×7×5×=39.所以AB=. 题型(二)　测量高度问题 02 [例2]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射 型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该 仪器的弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在 A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解:设AC=x m,则BC=x-×340=(x-40)m.在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420 m, ∠CAH=30°+15°=45°,∠AHC=90°-30°=60°. 由正弦定理得=, 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. |思|维|建|模| 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图:根据已知条件画出示意图; (2)分析三角形:分析与问题有关的三角形; (3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解. 在解题中,要综合运用几何知识与方程思想.　　 针对训练 3.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别是30°,60°,求塔高. 解:设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD 的延长线于点B(图略),则易得AB=,BD=AB·tan 30° =·tan 30°=×=(m), 所以CD=BC-BD=200-=(m). 题型(三)　测量角度问题 03 [例3]　已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意, ∠BAC=180°-38°-22°=120°, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120° =49,所以BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得 sin∠ABC===, 所以∠ABC=38°. 又∠BAD=38°, 所以BC∥AD. 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. |思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解. 针对训练 4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为 20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建 筑物CD的张角∠CAD等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.75° √ 解析:依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m, 所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD= ===, 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°. 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 A级——达标评价 1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为(　　) A. km B. km C. km D.2 km √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析:如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°, ∴=.∴AC=2×=(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100 m,从C, D两点测得A点仰角分别是60°,30°,则A点离地面的 高度AB等于 (　　) A.50 m B.100 m C.50 m D.100 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以△ADC为等腰三角形. 所以AC=DC=100 m. 在Rt△ABC中,AB=ACsin 60°=50 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.如图,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与 A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量数据的不 同方案:①测量∠A,|AC|,|BC|;②测量∠A,∠B,|BC|;③ 测量∠C,|AC|,|BC|;④测量∠A,∠B,∠C.要求甲同学选择的方案能唯一确定A,B两地之间的距离,这样的方案有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:选择方案①,由正弦定理得=,sin B=,B角可能有两解,从而|AB|不一定能唯一确定;选择方案②,∠A,∠B确定后∠C是确定的,由正弦定理可得|AB|是唯一的;选择方案③,直接由余弦定理求解,|AB|是唯一的;选择方案④,三角形只有三个角的大小,没法求得边长,不唯一.因此可选择方案有②和③两个.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间 架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测 得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100 m,NB=50 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为(　　) A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100,NB=50, ∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM= =200,在Rt△ABN中,可得AN==100,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000, 所以MN=100 m.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.甲船在岛A的正南方向B处,以每小时4 km的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 (　　) A. min B. min C.21.5 min D.2.15 h √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:如图,设t h后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.∵∠BAC=120°,∴由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100= +. 当t=时,DC2最小,即DC最小, 此时它们所航行的时间为×60= min. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程 技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC =BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为______ km.  解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=, 得AB===(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2 m的竹竿的影子最长,则竹竿与地面所成的角α=_____.  解析:如图,设竹竿影子长为x. 依据正弦定理可得=, 所以x=·sin(120°-α). 因为0°<120°-α<120°, 所以要使x最大,只需120°-α=90°,即α=30°时,影子最长. 30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为_______m/s.(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)  22.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意可知,AB=200 m,AC=100 m, 由余弦定理可得BC= =100≈316.2(m),这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(10分)如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°, 距离为12 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看 灯塔B在北偏东120°,求A与D间的距离. 解:在△ABD中,∠ADB=60°,∠DAB=75°,∴B=45°. ∴AD===24(n mile). 即A与D间的距离为24 n mile. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(13分)如图,在社会实践中,小明观察一棵桃树.他 在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4 m后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解:因为∠CAB=45°,∠DBC=75°, 所以∠ACB=75°-45°=30°.又AB=4, 由正弦定理得=, 解得BC=4(m). 即BC的长为4 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若小明身高为1.70 m,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m,其中≈1.732). 解:在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4, 所以DC=4sin 75°=4×=2+2. 所以CE=ED+DC=1.70+2+2≈3.70+3.464≈7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 B级——重点培优 11.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年,赵爽在为 《周髀算经》作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称为 “赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形,由三个 全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形,设DF=3FA,若AB=3,则DF的长为(　　) A.9 B.2 C.3 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题可知在△DEF中,∠EDA=,则∠ADB=. 不妨设DF=3k(k>0),由DF=3AF知AF=k,则AD=4k,又因为△AFC与△BDA全等,所以DB=AF=k.在△ABD中,由余弦定理可知 cos∠ADB===-,解得k=3,所以DF=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观察视角θ最大,x应为________cm.  77 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵TC=15 cm, ∴C到地面的距离为175-15=160(cm). ∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm). 由图易得,BC==(cm), AC==(cm), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 由余弦定理得cos θ= = =×≥×=, 当且仅当=,即x=77时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)如图,某广场有一块不规则的绿地,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7 m,BC=5 m,AC=8 m,∠C=∠D. (1)求AB的长度; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解:在△ABC中,由余弦定理,得cos C==. 在△ABD中,由余弦定理,得cos D==. 由∠C=∠D,得cos C=cos D,所以=, 解得AB=7.所以AB长度为7 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少? 解:小李的设计符合要求.理由如下: 因为S△ABD=·AD·BD·sin D=sin D,S△ABC=·AC·BC·sin C=20sin C, 又sin D=sin C, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以S△ABD>S△ABC,故选择△ABC建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=∠C=60°. 所以S△ABC=20sin C=10. 所以总造价为5 000×10=50 000(元). $$