8.4 因式分解 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

8.4 因式分解 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫作多项式的因式分解。也就是说，把原来和的形式写成积的形式。 二、因式分解的注意事项 1. 因式分解的对象是多项式，分解后的每一个因式必须是单项式或多项式。 2. 因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步的变化都必须保持前后两式相等。 3. 因式分解的结果都是整式的乘积形式。 4. 因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止。 5. 要注意因式分解在什么范围内进行。 三、因式分解的常用公式和方法 1. 提公因式法：仔细观察，提取多项式中的公因式。 2. 公式法：灵活运用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。 · 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b) · 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)² 四、因式分解的步骤 1. 首先观察多项式，看是否有公因式可以提取。 2. 如果没有公因式或者已经提取完公因式，再观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征。 3. 根据公式进行因式分解，直到多项式被彻底分解为几个整式的乘积为止。 巩固课内例1:把下列各式分解因式——提公因式法(单项式) 1．把多项式因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．分解因式： (1) (2) 巩固课内例2:把下列各式分解因式——提公因式法(多项式) 1．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解 (1)； (2)． 巩固课内例3:把下列各式分解因式——公式法 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例4:把下列各式分解因式——提公因式法+公式法 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解： (1)； (2)； 巩固课内例5:把下列各式分解因式——两次公式法 1．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例6:把下列各式分解因式——分组分解法 1．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例7:把下列各式分解因式——十字相乘法 1．若因式分解得：，则、的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．因式分解： ． 3．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 类型一、公因式 1．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 2．和的公因式是 ． 3．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 类型二、提公因式法 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 类型三、完全平方公式法 1．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．分解因式： (1) (2) 类型四、平方差法 1．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．因式分解：． 类型一、因式分解中的简算 1．计算 等于（    ） A． B． C． D． 2．简便计算： ． 3．简便计算： (1)； (2)． 类型二、比较大小 1．已知，，则与的大小关系式（　　） A． B． C． D．无法比较 2．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c． 3．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 类型三、整除问题 1．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 2．已知能被30至40之间的两个整数整除，这两个整数的和是 ． 3．对于任意自然数是否能被24整除？ 类型四、看错问题 1．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ． 3．在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 类型一、规律问题 1．如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 2．在学习整式乘法一庶时，小明发现 ， …… （1）借助小明发现的等式，不完全归纳 ； （2）利用（1）中的规律，因式分解 ； （3）运用新知：计算 ． 3．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ，…… (1)根据上述格式反映出的规律：求 (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理． (3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果． 类型二、新定义问题 1．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是 ． 3．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 类型三、分组分解法的应用 1．下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 类型四、十字相乘法的应用 1．将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 2．在实数范围内分解因式： ． 3．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 类型五、因式分解法中的图形 1．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 3．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 3．若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 4．已知，，则 ． 5．因式分解： ． 6．已知，则的值等于 ． 7．因式分解： (1)； (2)． 8．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 10．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4 因式分解 一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫作多项式的因式分解。也就是说，把原来和的形式写成积的形式。 二、因式分解的注意事项 1. 因式分解的对象是多项式，分解后的每一个因式必须是单项式或多项式。 2. 因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步的变化都必须保持前后两式相等。 3. 因式分解的结果都是整式的乘积形式。 4. 因式分解要彻底，分解出的每一个因式都要分解到不能再分解为止。 5. 要注意因式分解在什么范围内进行。 三、因式分解的常用公式和方法 1. 提公因式法：仔细观察，提取多项式中的公因式。 2. 公式法：灵活运用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。 · 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b) · 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)² 四、因式分解的步骤 1. 首先观察多项式，看是否有公因式可以提取。 2. 如果没有公因式或者已经提取完公因式，再观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征。 3. 根据公式进行因式分解，直到多项式被彻底分解为几个整式的乘积为止。 巩固课内例1:把下列各式分解因式——提公因式法(单项式) 1．把多项式因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．直接提公因式x即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 巩固课内例2:把下列各式分解因式——提公因式法(多项式) 1．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先添括号，再利用完全平方公式分解即可； （）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可； 本题考查了本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例3:把下列各式分解因式——公式法 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，平方差公式和十字相乘法．根据因式分解的方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 巩固课内例4:把下列各式分解因式——提公因式法+公式法 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法以及公式法分解因式，正确理解应用因式分解是解题的关键．根据提公因式法以及公式法分解因式，提取公因式后整理注意符号变化． 【详解】解：A． ，故错误，不符合题意； B． ，故正确，符合题意； C． ，不是因式分解，故错误，不符合题意； D． 无法因式分解，故错误，不符合题意． 故选B． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:把下列各式分解因式——两次公式法 1．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式和平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先展开，再合并，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 巩固课内例6:把下列各式分解因式——分组分解法 1．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 巩固课内例7:把下列各式分解因式——十字相乘法 1．若因式分解得：，则、的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法，掌握以上知识点是解题的关键．根据，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察与尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【详解】解：． 故答案为：． 3．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 类型一、公因式 1．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（   ） A．x B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据和均含有即可得出答案． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是， 故选：A． 2．和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因式即可． 【详解】解：和的公因式是， 故答案为：． 3．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】，， 【分析】由题意可假设多项式x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3− x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定． 【详解】解：设， 则， 所以，，， 解得，，． 所以 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好． 类型二、提公因式法 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行因式分解，判断即可． 【详解】解：A、，原分解错误，不符合题意； B、，原分解正确，符合题意； C、，原分解错误，不符合题意； D、，，原分解错误，不符合题意； 故选B． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）提取公因式后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 类型三、完全平方公式法 1．下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可判断求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、不能进行因式分解，该选项符合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 故选：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据公式法把一个式子化成几个因式相乘的形式即可解决； 【详解】解： ， ， 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤及注意点是解答的关键． （1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型四、平方差法 1．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用公式法因式分解，根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进一步分解即可．解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 类型一、因式分解中的简算 1．计算 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．简便计算： ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 3．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用， （1）先提出公因式数，然后在进行计算即可； （2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可； 利用提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二、比较大小 1．已知，，则与的大小关系式（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】用，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 2．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c． 【答案】 【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可． 【详解】解：由题意得，当，时， ， ， ， 故答案为：． 3．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；2； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键． （1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可； （2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 故答案为：5；2；； （2）解：，理由如下： 由题意得， ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 类型三、整除问题 1．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为即可． 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 2．已知能被30至40之间的两个整数整除，这两个整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴能被35和37整除， ∴这两个整数的和是， 故答案为：． 3．对于任意自然数是否能被24整除？ 【答案】能 【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． ∵n为自然数， ∴能被24整除， 故对于任意自然数能被24整除． 类型四、看错问题 1．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 2．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ． 【答案】(x+2)(x－6) 【分析】小明看错了a的值，将分解结果（x+4）（x-3）展开，则可确定b；小红看错了b的值，将分解结果（x+1）（x-5）展开，则可确定a；然后将a、b代入因式分解即可． 【详解】解：∵小明看错了a的值，分解的结果为（x+4）（x-3）=x2+x-12， ∴b=-12 ∵小红看错了b的值，分解的结果是（x+1）（x-5）=x2-4x-5 ∴a=-4 ∴x2+ax+b=x2-4x-12=（x+2）（x-6）． 【点睛】本题主要考查了二次三项式的分解因式，解题的关键在于根据题意确定正确的a和b． 3．在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 【答案】 【分析】根据“甲看错了的值，分解的结果是”可确定的值，根据“乙看错的值，分解的结果是”可确定的值，进而确定，再进行因式分解即可． 【详解】解：∵，甲看错了的值，∴； ∵，乙看错了的值，∴； 所以这个多项式为， 【点睛】本题考查多项式乘法，因式分解，解决此题关键是掌握公式法分解因式． 类型一、规律问题 1．如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 【答案】A 【分析】设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数），根据各图形中黑色棋子数的变化可找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”，再代入n＝7即可求出结论． 【详解】解：设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数）， ∵a1＝2×1＝2，a2＝3×3﹣1＝8，a3＝4×5﹣1﹣2＝17，a4＝5×7﹣1﹣2﹣3＝29，…， ∴an＝（n+1）（2n﹣1）﹣1﹣2﹣…﹣（n﹣1）＝（n+1）（2n﹣1）n（n+1）﹣1（n为正整数）， ∴a77×（7+1）﹣1＝83． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色棋子数的变化，找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”是解题的关键． 2．在学习整式乘法一庶时，小明发现 ， …… （1）借助小明发现的等式，不完全归纳 ； （2）利用（1）中的规律，因式分解 ； （3）运用新知：计算 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意找到规律进行求解即可； （2）根据（1）所求进行因式分解即可； （2）令，再根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， …… ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 故答案为：； （3）∵， ∴当时， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意找到是解题的关键． 3．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ，…… (1)根据上述格式反映出的规律：求 (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数学为5，请用所学知识说明这个速算的原理． (3)这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，分解因式： （1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据题意这个两位数可以表示为，再利用完全平方公式求出的结果，再分解因式即可得到答案； （3）把1和9看做一个整体，利用（1）（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴； （2）解：∵， ∴． （3）解：由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有． 类型二、新定义问题 1．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可． 【详解】解：设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个． 故选：B． 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查数字类规律探究、因式分解的应用，理解题意，利用平方差公式求解是解答的关键．先根据已知 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，……， 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为8，12，16，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为15，21，27，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为24，32，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为35，45，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为48，60，……； ……， 把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……， 故第2个智慧优数是12， 故答案为：12． 3．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)c的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、分组分解法的应用 1．下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法、公式法等因式分解的方法． 对每个选项逐一进行因式分解，判断其正确性． 【详解】A、对提取公因式5a，可得，故选项因式分解正确； B、在实数范围内不能因式分解，故该选项因式分解错误； C、对分组分解，，故选项因式分解正确； D、先对中前三项用完全平方公式，，再用平方差公式可得，故选项因式分解正确． 故选：B． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 3．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若．，都是正整数且，求的值； （2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值． 【答案】（1）①；②19；（2） 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用： （1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出a，b的值，代入计算可得答案； （2）将变形为，代入得，可得答案． 【详解】解：（1）① ； ②， ， ，都是正整数， ，都是整数，且， 又， ，或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （2）， ， ， ，， ， 整式的最小值为． 类型四、十字相乘法的应用 1．将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可． 【详解】 故答案为：． 3．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 类型五、因式分解法中的图形 1．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为， 图2中的阴影部分的面积为， ∴， 故答案为∶D． 2．如图是一个棱长为的正方体中挖去一个棱长为的小正方体，将剩余部分进行切割得到如图所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式进行因式分解，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和是解题的关键． 根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 图的体积为：， 图的体积为：， 图的体积图的体积， ， 故答案为：． 3．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】(1) (2)①见解析； ② 3，1，4 ；③ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【详解】（1）解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； （2） ①解：如图； ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键． 根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解． 【详解】A．不是因式分解，不符合题意； B．不是因式分解，不符合题意； C．等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．是因式分解，符合题意； 故选∶D． 2．若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式可因式分解为， ∴， 故选：B． 3．若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，原式先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 4．已知，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用平方差公式分解因式是解题的关键．先利用平方差公式分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：24． 5．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．本题先提公因式再利用公式法解法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知，则的值等于 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解，最后将已知条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：50． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. （1）用提公因式法因式分解即可； （2）用提公因式法和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 8．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式，乘法公式因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【答案】(1)①   ② (2)①见解析   ②见解析， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． （1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； ②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：① ， 无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于， 则的最小值为； ②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8， 则的最大值为8， ， 无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28． 10．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$