第十八章 平行四边形 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十八章 平行四边形 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平行四边形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，故此选项符合题意； D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 5．（2025·河北保定·一模）如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据题意易得，再根据D点为中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∵D点为中点，， ∴， 则小明家到小亮家的距离为， 故选：C． 6．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项C不符合题意； A．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； B．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：D． 7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可． 【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，所以，方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴； 方案可行； 故选：C． 8．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形中数字的规律，发现规律是为底数，以图形序号数减去1为指数的幂是解题的关键．根据题意，得第一个正方形的边长为；第二个正方形的边长为；第三个正方形的边长为；第四个正方形的边长为；由此得到第n个正方形的边长为，即可解答． 【详解】解：根据题意，得第一个正方形的边长为； 第二个正方形的边长为； 第三个正方形的边长为； 第四个正方形的边长为； 由此得到第n个正方形的边长为； 故第2025个正方形的边长为， 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是由折叠性质得到． 由折叠性质得到，设，则，再由矩形性质和勾股定理得到方程后求解即可． 【详解】解：由折叠性质可得， 设，则， 矩形纸片中，， ， 即， 解得． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理求出，得到，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：在长方形纸片中， ，， 长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点， ，，，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：. 14．（2025·上海·模拟预测）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质得， ，，再求出，然后由菱形面积求出，即可解决问题． 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的面积， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由求得答案． 【详解】解：连接， ∵长方形中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上方时， 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得： ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当点在下方时， 如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 推导过程与完全相同， 同理可得：； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，轴对称的性质，矩形的判定与性质，平行公理的推论，勾股定理，两直线平行同旁内角互补，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 18．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为 ，最小值为 ，当点为边中点时，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、直角三角形的斜边中线定理和勾股定理，熟练掌握直角三角形的相关定理是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，通过“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，，，再根据直角三角形的斜边中线定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ，． 当与重合时，的值最大，此时，， 当时，的值最小，此时，． 当点为边中点时，， 故答案为：6，3，． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，证明平行四边形是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：如图，设交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 20．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．点A，点都在格点上，按下列要求作图，使所画图形的顶点都在格点上，并且所画图形均不全等． (1)在图中，以A，，，为顶点画一个四边形，使其为轴对称图形． (2)在图中，以A，，，为顶点画一个面积为的平行四边形． (3)在图中，以A，，，为顶点画一个正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； 直接利用平行四边形的性质得出一个符合题意的图形； 直接利用正方形的性质得出一个符合题意的图形． 此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握轴对称图形、平行四边形的性质以及正方形的性质是解题关键． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作； （2）解：如图，平行四边形为所作； （3）解：如图，正方形为所作； 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，．，分别是对角线，的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)CD=． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，熟悉各性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键． （1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， ，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】（1）证明∶如图，连接、， ，是的中点， ， ， ， 是的中点， ； （2）解：是的中点，， ， ，， 中， ， ， ， ， 中，． 22．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，作和的平分线，分别交于点，，延长交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明．条件①：平分；条件②：． 【答案】(1)见解析 (2)②；是菱形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，特殊四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得出，，，可得，再结合，分别是和的平分线，得出，即可证明； （2）通过，得出，则可证明，则可证明四边形是平行四边形；当添加条件①时，再通过证，得出与不垂直，则四边形不是菱形和正方形；通过证，得出与不垂直，四边形不是矩形，综上，添加条件①不合适；当添加条件②时，再通过证明推出是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如果添加条件①无法证明四边形是其余特殊四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴与不垂直， ∴四边形不是菱形和正方形； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴与不垂直， ∴四边形不是矩形； 综上，添加条件①不合适； 如果添加条件②，四边形是菱形．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①，；② 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，图象变换的性质，掌握正方形的性质，图形变换的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，由勾股定理得到，由四边形是正方形，可得，由此即可求解； （2）根据正方形的性质拼接即可； （3）①根据朱出与朱入可得，，则，由此即可求解；②在中，，在中，，又在中，，由此列式得，设，解得，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点， ∴，， ∴， ∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片， ∴， 故答案为：； （2）下图展示了两种不同的拼法， （3）将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，， ∴， ①如图所示， 根据朱出与朱入可得，，则，， ∴，； ②由①可知，， 在中，， 在中，， 又在中，， ∴，设， ∴， 解得， ∴， ∴正方形的边长是． 24．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)见解析 (3)2或3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答． （1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点与点D重合或点E在边上时的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， ①当时，， ②当时，； （2）证明： 连接， 如图， 在中，为对角线的中点， ∴经过点，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 在和 中， ， ， ； （3）解：①当点与点重合时，如图， 由题意得：为等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点落在边上时，如图， 由题意得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在边上时，的值为：2或3． 25．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，证明，进而判定，利用勾股定理即可求解； （2）过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，根据矩形的性质可得，进而证明四边形是矩形，根据等面积法，进而求解； （3）延长与的延长线交于点，过点于点，进而证明，令、则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：如图，设，，，， ，， ， ， ， 在矩形中，，，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作垂足为点、交于点，过点作于点，延长交于点，设，，，， 则，， 在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 解得：； （3）解：如图，延长与的延长线交于点，过点于点， 在矩形中，，，，， 为的中点， ， ，， 在示中， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 令、则， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【分析】（1）①证明，可得结论；②根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平行四边形全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·一模）如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 8．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为 ． 14．（2025·上海·模拟预测）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 16．（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 18．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为 ，最小值为 ，当点为边中点时，则长为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 20．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．点A，点都在格点上，按下列要求作图，使所画图形的顶点都在格点上，并且所画图形均不全等． (1)在图中，以A，，，为顶点画一个四边形，使其为轴对称图形． (2)在图中，以A，，，为顶点画一个面积为的平行四边形． (3)在图中，以A，，，为顶点画一个正方形． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，．，分别是对角线，的中点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点，作和的平分线，分别交于点，，延长交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明．条件①：平分；条件②：． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 24．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 25．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图，若，，求线段的长度； (2)如图，若，，求线段的长度； (3)如图，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度． 26．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$