7.2　勾股定理 学案 2024-2025学年青岛版八年级数学下册

7.2　勾股定理 课时学习目标 素养目标达成 1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力 2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识 3.尝试用多种方法验证勾股定理,体验解决问题策略的多样性、发展推理能力 几何直观、推理能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 勾股定理 文字语言 直角三角形两直角边的　平方和　等于斜边的　平方　  图示 符号语言 因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2=　AB2　或　a2+b2　=c2  前提条件 勾股定理只适用于直角三角形 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5. (√) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10. (×) (3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2. (×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.15 B.13 C.12 D.10 重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识) 【典例1】(教材再开发·P47习题7.2T8变式) 如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是 (A) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.144 B.194 C.12 D.13 　　　　　　　　　　　　　　　 举一反三 1.(2024·保定质检)如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为 (D) A.11 B.16 C.17 D.23 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2= (C) A.4 B.9 C.18 D.36 重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P45挑战自我变式)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 【自主解答】因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG =(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, 所以ab+c2=a2+ab+b2, 整理得a2+b2=c2. 举一反三 　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 (D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.24　 B.36　 C.40　 D.44 2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 【解析】S△ABC=BC·AC=ab,S△ACD=AC·DE=b2,S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ab+b2, 因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°, 在△ABC和△DAE中, 所以△ABC≌△DAE,所以∠ABC=∠DAE, 所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°, 因为∠ACB=∠DEA=90°, 所以DE⊥AC,AC⊥BC, 因为DF⊥BF,所以四边形CEDF是矩形, 所以DF=CE=AC-AE=b-a, 所以S△ABD=AB·AD=c2, S△BCD=BC·DF=×a×(b-a)=ab-a2, S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+ab-a2, 所以ab+b2=c2+ab-a2,所以a2+b2=c2. 技法点拨 “双求法”证明勾股定理 　双求法:用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,通过化简即可完成勾股定理的证明. 名称 图例 双求法 赵爽 弦图 c2=4×ab +(b-a)2 毕达哥 拉斯拼 图 (a+b)2 =4×ab +c2 重点3 勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识) 【典例3】(教材溯源·P47习题7.2T5强化·2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　50　km.  举一反三 1.(2024·宿州质检)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了 (C) 　　　　　　　　　　　　 A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 2.(2024·沈阳质检)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为　40　n mile.  技法点拨 利用勾股定理解决实际问题的“四步法” 1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形. 2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造). 3.利用勾股定理计算相关线段的长. 4.解决实际问题. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为 (D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.41 C.9或31 D.9或41 2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有　4　个.  3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 【解析】(1)设AB=x米, 因为AB+AC=16米, 所以AC=(16-x)米, 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=8米, 由勾股定理得:AC2=AB2+BC2, 即(16-x)2=x2+82,解得x=6. 答:旗杆在离底部6米的位置断裂. (2)如图,过点B作BD⊥AC于点D, 则=AC·BD=AB·BC, 所以AC·BD=AB·BC, 由(1)可知,AC=16-6=10(米), 所以BD===4.8(米). 答:点B到AC的距离为4.8米. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2　勾股定理 课时学习目标 素养目标达成 1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力 2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识 3.尝试用多种方法验证勾股定理,体验解决问题策略的多样性、发展推理能力 几何直观、推理能力 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 勾股定理 文字语言 直角三角形两直角边的 等于斜边的 图示 符号语言 因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2= 或 =c2  前提条件 勾股定理只适用于直角三角形 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5. ( ) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10. ( ) (3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2. ( ) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.15 B.13 C.12 D.10 重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识) 【典例1】(教材再开发·P47习题7.2T8变式) 如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是 ( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.144 B.194 C.12 D.13 　　　　　　　　　　　　　　　 举一反三 1.(2024·保定质检)如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为 ( ) A.11 B.16 C.17 D.23 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2= ( ) A.4 B.9 C.18 D.36 重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P45挑战自我变式)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 举一反三 　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.24　 B.36　 C.40　 D.44 2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 技法点拨 “双求法”证明勾股定理 　双求法:用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,通过化简即可完成勾股定理的证明. 名称 图例 双求法 赵爽 弦图 c2=4×ab +(b-a)2 毕达哥 拉斯拼 图 (a+b)2 =4×ab +c2 重点3 勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识) 【典例3】(教材溯源·P47习题7.2T5强化·2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.  举一反三 1.(2024·宿州质检)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了 ( ) 　　　　　　　　　　　　 A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 2.(2024·沈阳质检)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile.  技法点拨 利用勾股定理解决实际问题的“四步法” 1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形. 2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造). 3.利用勾股定理计算相关线段的长. 4.解决实际问题. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.41 C.9或31 D.9或41 2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 个.  3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$