第03讲 一次函数的应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块二 函数 第03讲 一次函数及其实际应用 （思维导图+1考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 一次函数 一次函数在广东的中考数学中主要考察其图象、性质以及其应用，其中图象的性质经常以选择题的形式出现，而一次函数的应用题型的考察则较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他函数或几何知识的结合.在复习中需要数练掌握相关基础知识及解题技巧。 题型01 函数基础知识 1.（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 2.（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（    ）    A． B． C．17 D． 【答案】C 【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图象可知：时，点与点重合， ∴， ∴点从点运动到点所需的时间为； ∴点从点运动到点的时间为， ∴； 在中：； 故选C． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键． 1．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车行驶的路程y与行驶的时间t之间的关系进行判断即可． 【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，故选项B符合， 随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 题型02 一次函数的图象与性质 1.（2020·广东广州·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系． 2.（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1•k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 1．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 3．将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键． 4．已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可． 【详解】解：在一次函数y=2x+1中， ∵k=2>0， ∴y随x的增大而增大． ∵2<， ∴． ∴m<n． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键． 题型03 求一次函数解析式 1.（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（   ） A．-15 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】直接把已知点代入，即可求出k的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，解题关键是正确得出k的值． 2.（2023·广东·中考真题）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】将两个点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查待定系数法确定一次函数解析式． 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1．已知一次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 2．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． (1)求点A′的坐标； (2)确定直线A′B对应的函数表达式． 【答案】(1)A′（2，0） (2)y＝﹣x+2 【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可； （2）利用待定系数法解答即可． 【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴A′（2，0）． （2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 3．如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 题型04 一次函数的实际应用 1.（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 2.（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 (1)求y与x的函数关系式； (2)当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量． 【答案】(1) (2)所挂物体的质量为2.5kg 【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式； （2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得： ， 解得：， 即所挂物体的质量为2.5kg． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式． 3.（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）. （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）选甲家商店能购买该水果更多一些 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 1.如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解． 【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长， 因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是， 故选D． 2.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)． (1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式； (2)如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查列函数关系式和求函数值，解题的关键是读懂题意，理清收费标准． （1）根据题干中给定的收费标准列出函数关系式即可． （2）根据（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：在中， 当时，， ∴如果小明家11月用水 12立方米，应付水费元． 3.为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)每棵A种树苗需要100元，每棵B种树苗需要80元 (2) (3)当购进100棵A种树苗，100棵B种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元，根据“购买了3棵种树苗和4棵种树苗共需620元；购买2棵种树苗和3棵种树苗共需440元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由购进两种树苗的总棵数及购进种树苗的棵数，可得出学校购买种树苗棵，利用购买两种树苗及运输、种植所需的总费用单价数量每棵树苗的运输及种植费用，即可找出与的函数关系式； （3）根据“购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，且学校用于绿化的总费用在22400元限额内”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：每棵种树苗需要100元，每棵种树苗需要80元； （2）解：学校计划从某苗木基地购进、两种树苗共200棵绿化校园，且学校购买种树苗棵， 学校购买种树苗棵． 根据题意得：， 即； （3）解：根据题意得：， 解得：． ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值，此时． 答：当购进100棵种树苗，100棵种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元． $$ 模块二 函数 第03讲 一次函数及其实际应用 （思维导图+1考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 一次函数 一次函数在广东的中考数学中主要考察其图象、性质以及其应用，其中图象的性质经常以选择题的形式出现，而一次函数的应用题型的考察则较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他函数或几何知识的结合.在复习中需要数练掌握相关基础知识及解题技巧。 题型01 函数基础知识 1.（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（    ） A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量 2.（2023·广东深圳·中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（    ）    A． B． C．17 D． 1．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 题型02 一次函数的图象与性质 1.（2020·广东广州·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（  ） A． B． C． D． 2.（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（  ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1•k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 1．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A．B．C．D． 3．将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型03 求一次函数解析式 1.（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（   ） A．-15 B．15 C． D． 2.（2023·广东·中考真题）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 1．已知一次函数的图象经过点和，则 ． 2．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． (1)求点A′的坐标； (2)确定直线A′B对应的函数表达式． 3．如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 题型04 一次函数的实际应用 1.（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 2.（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 (1)求y与x的函数关系式； (2)当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量． 3.（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）. （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 1.如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 2.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)． (1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式； (2)如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？ 3.为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$