第04讲 反比例函数及其应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块二 函数 第04讲 反比例函数及其应用 （思维导图+2考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 反比例函数 反比例函数在广东省的中考数学中主要考察其图象与性质，一次函数的图象结合考察较为常见，题型以选择题为主；另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系. 考点一 反比例函数的性质 题型01 反比例函数的性质 1.（2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，，在反比例函数图象上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2.（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限， 则一次函数图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 3.（2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 【答案】4 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 4.（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴点、是反比例函数上的两个点， 又∵， ∴， 故填：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解． 1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．已知反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】由反比例函数的图象的分别确定＜ 再确定一次函数y＝kx+2的图象经过的象限即可得到答案. 【详解】解： 反比例函数y（k≠0）的图象分布在二，四象限， ＜ 一次函数y＝kx+2的图象经过一，二，四象限， 故选： 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，掌握一次函数与反比例函数的图象与的关系是解题的关键. 2．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，，在反比例函数图象上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限， ∴m﹣2＜0， 得：m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键． 5．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 【答案】5 【分析】由反比例函数图象的性质可得k<0,化简分式时注意去绝对值． 【详解】由题意得k<0． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题． 题型02 反比例函数k的几何意义 1.（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 2.（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 3.（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得． 【详解】解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4.（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 1．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 2．如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解； 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键． 3．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴ ． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．    【答案】 2 【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：（舍），， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：，2．      【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程． 考点二 反比例函数的应用 题型03 反比例函数的实际应用 1.（2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)当16≤≤25时，400≤S≤625 【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案； （2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2， ∴=500米2×20米=10000米3； （2）由（1）得： ， 则（），S随着的增大而减小， 当时，S=625； 当时，S=400； ∴当16≤≤25时，400≤S≤625． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键． 1．某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当U＝40时，I＝8，则当U＝50时，I的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．15 【分析】设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可． 【解答】解：由题意知：I， ∴R5（Ω）， ∴当U＝50时，I10（A）， 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6＝Fl， 即F，是反比例函数， 又∵动力臂l＞0， 反比例函数F的图象是双曲线，且在第一象限． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键． 3．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，R1为气敏可变电阻，定值电阻R0＝30Ω，检测时，可通过电压表显示的读数U（V）换算为酒精气体浓度p（mg/m3），设R＝R1+R0，电压表显示的读数U（V）与R（Ω）之间的反比例函数图象如图2所示，R1与酒精气体浓度p的关系式为R1＝﹣60p+60，当电压表示数为4.5V时，酒精气体浓度为 　 　mg/m3． 【分析】先求出U（V）与R（Ω）之间的反比例函数解析式，再求出电压表示数为4.5V时，R的值，进而求出R1的值，从而关键R1＝﹣60p+60求出p． 【解答】解：设U（V）与R（Ω）之间的反比例函数解析式为U， 其图象过点（45，6）， ∴6， 解得k＝270， ∴解析式为：U， 当U＝4.5时，4.5， 解得R＝60（Ω）， ∵R＝R1+R0，R0＝30Ω， ∴R1＝R﹣R0＝60﹣30＝30（Ω）， ∵R1＝﹣60p+60， ∴30＝﹣60p+60， 解得p＝0.5（mg/m3）， 故答案为：0.5． 【点评】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求出反比例函数解析式是解题的关键． 4．一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货，平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系．它的图象如图所示． （1）求y与t之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【分析】（1）根据平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系．设y（k≠0），将点（2，120）代入解答即可； （2）直接利用（1）中函数解析式，将t＝5代入，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵v与t是反比例函数关系， ∴设y（k≠0）， ∵图象过点（2，120）， ∴k＝2×120＝240， ∴v与t之间的函数解析式为：y； （2）当t＝5时，y48， ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴当t≤5时，y≥48， 答：平均每天至少要卸载48吨． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 题型04 反比例函数的综合运用 1.（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为． （1）求m的值； （2）若，求k的值． 【答案】（1）4；（2）或 【分析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m； （2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值． 【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点， ∴代入得， ∴． （2）令，即， ∴，， 令，∴， ∵． 由图象得，可分为以下两种情况， ①B在y轴正半轴时，， ∵， 过P作轴交x轴于点H，又，， ∴ ∴， , 即 , ∴， ∴， ∴． ②B在y轴负半轴时，，过P作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴，代入 ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键． 2.（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 【答案】-2 【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，交点为P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵O（0，0），B（1，2）， ∴P的坐标， ∵A（3，1）， ∴C的坐标为（-2，1）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C， ∴k=-2×1=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 3.（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标． 【详解】设：，反比例： 将点A代入可得： ； 联立可得： 过点B作y轴的平行线l 过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点 则 ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 1.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2.解反比例函数与几何图形的综合题 一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型. 1．（2024•罗湖区二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交点求出值得到交点坐标，根据直线解析式求出点坐标，依据中点坐标公式分别求出点和点坐标，即可得到值，求出点坐标是关键． 【解答】解：联立方程组得 整理得： ∵只有一个交点， 舍去负值， ， ∴一次函数解析式为 ∴联立方程组得 解得：，（舍去）， ∴点， ∵当时， ∴ ∴线段的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴， ∴ ∴ 在反比例函数图象上， ∴， ， 故答案为： 2．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB，反比例函数y（k≠0）恰好经过点C，则k＝　 　． 【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E， ∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB， ∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°， 在Rt△OBC中，即， ∴OC＝4， 在Rt△OCE中，即，CE＝2， ，即， ∴OE＝2， ∴点C（2，2）， ∴k＝22＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有30°角的直角三角形，求函数图象上点的坐标． 3．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交A（4，1），B（1，a）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知可得﹣x+5﹣t只有一个解，化为一元二次方程，用根的判别式解答即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过A（4，1）， ∴m＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y， 把B（1，a）代入y得，a4， ∴点B（1，4）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b（k≠0）得， 解得， 故一次函数表达式为：y＝﹣x+5； （2）把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象向下平移t个单位得直线y＝﹣x+5﹣t， 根据题意可得只有一组解，即﹣x+5﹣t只有一个解， ∴x2+（t﹣5）x+4＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即（t﹣5）2﹣4×1×4＝0， 解得t＝1或t＝9（因反比例函数在第一象限，舍去）， ∴t的值为1． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． 4．如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知A点的横坐标是2． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）将直线y1＝kx向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E．若，求m的值． 【分析】（1）设A点坐标为（2，t），把A（2，t）分别代入y＝kx和数可求出k的值，t＝2，即可求出答案； （2）根据直线y＝x向下平移a个单位长度，可得直线CD解析式为：y＝x﹣a，所以点D的坐标为（a，0），过点C作CF⊥x轴于点F，根据CF∥OE，可得，所以FDm，可得点C的坐标，然后利用反比例函数即可解决问题． 【解答】解：（1）设A点坐标为（2，t）， 把A（2，t）分别代入y＝kx和得， 解得， ∴A点坐标为（2，2）， ∴正比例函数的表达式为y1＝x，反比例函数的表达式为y2； （2）∵直线y＝x向下平移m个单位长度， ∴直线CD解析式为：y＝x﹣m， 当y＝0时，x＝m， ∴点D的坐标为（m，0）， 如图，过点C作CF⊥x轴于点F， ∴CF∥OE， ∴， ∴FDm， ∴OF＝OD+FDm， ∵点C在直线CD上， ∴ym﹣mm， ∴CFm， ∴点C的坐标是（m，m）． ∵点C在反比例函数y的图象上， ∴mm＝4， 解得m（负值舍去）， ∴m． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． $$ 模块二 数学 第04讲 反比例函数及其应用 （思维导图+2考点+4种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 反比例函数 反比例函数在广东省的中考数学中主要考察其图象与性质，一次函数的图象结合考察较为常见，题型以选择题为主；另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系. 考点一 反比例函数的性质 题型01 反比例函数的性质 1.（2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.（2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 4.（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．已知反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2．对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 3．点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 5．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 题型02 反比例函数k的几何意义 1.（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 3.（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ． 4.（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 1．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 3．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 4．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    5．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．    考点二 反比例函数的应用 题型03 反比例函数的实际应用 1.（2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 1．某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当U＝40时，I＝8，则当U＝50时，I的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．15 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，R1为气敏可变电阻，定值电阻R0＝30Ω，检测时，可通过电压表显示的读数U（V）换算为酒精气体浓度p（mg/m3），设R＝R1+R0，电压表显示的读数U（V）与R（Ω）之间的反比例函数图象如图2所示，R1与酒精气体浓度p的关系式为R1＝﹣60p+60，当电压表示数为4.5V时，酒精气体浓度为 　 　mg/m3． 4．一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货，平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系．它的图象如图所示． （1）求y与t之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 题型04 反比例函数的综合运用 1.（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为． （1）求m的值； （2）若，求k的值． 2.（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 3.（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 1.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2.解反比例函数与几何图形的综合题 一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型. 1．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 2．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB，反比例函数y（k≠0）恰好经过点C，则k＝　 　． 3．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交A（4，1），B（1，a）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 4．如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知A点的横坐标是2． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）将直线y1＝kx向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E．若，求m的值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$