28.1 锐角三角函数-【数学一起课件】初中数学九年级下册同步PPT课件（人教版）

一起课件 专注教学课件制作 第二十七单元 锐角三角函数 《锐角三角函数》   一、教材分析 初中锐角函数的教学是初中数学课程中的重要一环，它不仅为后续的高中三角函数学习打下基础，还培养了学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。  二、教学目标 1. 学生能够理解锐角函数（正弦、余弦、正切）的基本概念及其与直角三角形边长之间的关系；学生能够掌握使用计算器或查表计算锐角函数值的方法；学生能够运用锐角函数解决简单的实际问题，如计算角度、边长等。 2. 通过直观演示和动手操作，帮助学生理解锐角函数的概念；通过小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力；通过实际问题的应用，提高学生的数学应用意识和实践能力。 3. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养他们的探究精神；培养学生的严谨的数学思维和逻辑推理能力；引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用，增强他们的数学自信心。   三、教学重难点 1. 重点：锐角函数的基本概念、定义及其与直角三角形边长之间的关系；锐角函数的计算方法和应用。 2.难点：锐角函数概念的理解及其与直角三角形边长之间关系的建立；如何灵活运用锐角函数解决实际问题。   四、教学过程 一、新课导入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1174年动工兴建，1350年完工，是8层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高AB=54.5米，塔体总重量达1.42万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离BC=5.2米.仔细看下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角α是多少吗？ 【设计意图】在新课导入阶段，明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣. 二、探究新知 活动一：已知直角三角形的边长求正弦值 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.   如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 思考 在前面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于. 思考 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比,由此你能得出什么结论？ AB2=AC2+BC2=2BC2 AB=BC 因此 结论：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于. 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 1.比值与点B在角边上的位置无关；   2.比值随着∠A的变化而变化； 3.对于每一个确定的∠A，比值都是一个确定的值. 探究 任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ ∵ ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ∴ ，即 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= (1)sinA不是一个角 (2)sinA不是sin与A的乘积 (3)sinA是一个比值 (4)sinA没有单位 ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 sinA=，sinB=. 活动二：余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？ 我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA，即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA，tanA，也是A的函数. ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. 解：由勾股定理得 因此 sinA===， cosA===，tanA===. 活动三：特殊角的三角函数值 （一）30°、45°、60°角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 1.求下列各式的值： (1) cos260°+sin260° (2)-tan45° sin260°表示(sin60°)2即(sin60°)·(sin60°) 解：(1) 原式= (2) 原式=÷-1=1-1=0 2.（1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，求∠A的度数. (2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO=OB，求α的度数. 解：(1) 在图(1)中， ∵ sinA===，∴ ∠A=45° (2) 在图(2)中， ∵ tanα=== ∴ α=60° 当A，B均为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB 活动四：用计算器求锐角三角函数值及锐角 计算器 计算陪伴我们成长，我们通常用口算笔算，随着科学技术的飞速发展，计算方式不断更新，计算器和计算机的出现为数学的发展提供了技术保障，使用计算器和计算机是我们学习数学必须的基础课. 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数： 例1 (1) 用计算器求sin18°的值； 解：第一步：按计算器sin键； 第二步：输入角度值18； 屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994. (2) 用计算器求 tan30°36′ 的值； 解：方法①： 第一步：按计算器tan键； 第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)； 屏幕显示答案：0.591 398 351. 方法②： 第一步：按计算器tan键； 第二步：输入角度值30，分值36 (使用“’”键)； 屏幕显示答案：0.591 398 351. (3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数. 解：第一步：按计算器2ndF sin键； 第二步：然后输入函数值0. 501 8； 屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行精确). 还可以利用 2ndF “’”键，进一步得到 ∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为30°7′9″). 设计意图：组织学生进行课堂练习，巩固所学知识，旨在通过反复练习，加深学生对锐角函数的理解和记忆；鼓励学生独立思考、尝试解决问题，旨在提高他们的解题能力和解决问题的能力；及时纠正学生的错误，并给予积极的反馈和鼓励，旨在帮助学生及时发现问题、改正错误，增强他们的自信心和学习动力。 三、课堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sinA的值. 解：如图，∵ ∠C=90°，∠A=60° ∴ ∠B=30° 设AC为a，则AB=2a，根据勾股定理得BC=a ∴ sinA=== 2.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值和正切值有变化吗？说明理由. 解：当Rt△ABC的各边长都扩大到原来的2倍时，所得的三角形与原三角形相似，∠A的大小没有发生改变，因此∠A的正弦值、余弦值和正切值都没有变化. 5. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47°；(2) sin12°30′； (3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°. 答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3)0.9041 (4) －0.7817 【设计意图】通过课堂练习，学生可以反复运用反比例函数的概念和性质，从而加深对这些知识点的记忆。 4、 课堂小结 1. 本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 2. 余弦函数和正切函数 · 余弦：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 · 正切：在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 · 性质：锐角∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 【设计意图】通过简洁明了的语言，帮助学生回顾本节课所学知识，确保他们能够清晰地把握本节课的核心内容。 五、课后作业 【设计意图】：设计一些与课堂内容紧密相关的练习题，帮助学生巩固知识，确保他们能够熟练掌握这些知识点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锐角三角函数 九年级数学下 28.1 第二十八章 锐角三角函数 1 学习目标 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变）。 2. 能根据正弦概念正确进行计算。 3. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念。 4. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。 2 学习目标 5. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。 6. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。 7. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值。 8. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。 9. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题。 3 目 录 1. 已知直角三角形的边长求正弦值 2. 余弦 3. 正切 4. 锐角三角函数 5. 特殊角的三角函数值 6. 用计算器求锐角三角函数值及锐角 4 情景导入 比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于1174年动工兴建，1350年完工，是8层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高米，塔体总重量达1.42万吨。由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离米。仔细看下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角α是多少吗？ 5 探究新知 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角()为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 6 探究新知 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角()为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为： 在中，，，，求AB.   已知直角三角形的边长求正弦值 7 探究新知 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角()为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 已知直角三角形的边长求正弦值 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”, 即 如图，在 中，，求AB. 可得 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 8 探究新知 思考:在前面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ 已知直角三角形的边长求正弦值 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 9 探究新知 思考:如图，任意画一个，使，计算的对边与斜边的比,由此你能得出什么结论？ 已知直角三角形的边长求正弦值 如图 = 10 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 11 探究新知 当是任意一个确定的锐角时， 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 已知直角三角形的边长求正弦值 12 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 一般地，当是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？   1.比值与点B在角边上的位置无关； 2.比值随着∠A的变化而变化； 3.对于每一个确定的，比值都是一个确定的值. 13 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 任意画 和 ，使得 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 14 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 因为，所以所以 这就是说，在中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，的对边与斜边的比都是一个固定值. 15 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 如图，中，，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做的正弦，记作 ，即 例如，当时，我们有 当时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 ∠A的对边 斜边 = 16 探究新知 已知直角三角形的边长求正弦值 例1 : 如图，在 中，，求 和 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 17 探究新知 解：如图①，在 中，由勾股定理得 因此 如图②，在中，由勾股定理得 因此 已知直角三角形的边长求正弦值 18 探究新知 如图，在中，，当确定时，的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？ 已知直角三角形的边长求正弦值 19 探究新知 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即 余弦 的邻边 斜边 = 20 探究新知 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 从而有 余弦 21 探究新知 正切 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ， 即 锐角A的正弦、余弦、正切都是 的三角函数. 的对边 的邻边 = 22 探究新知 正切 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数. 23 探究新知 锐角三角函数 A B C 10 6 如图，在 中，，求的值. 解：由勾股定理得 24 探究新知 特殊角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30°、45°、60°角的三角函数值 25 探究新知 特殊角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30°、45°、60°角的三角函数值 另一条直角边长 = ∴ ∴ ， ， ， ， 26 探究新知 特殊角的三角函数值 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30°、45°、60°角的三角函数值 设两条直角边长为 a，则斜边长 = ∴ ， ， 27 探究新知 30°、45°、60°角的三角函数值 锐角α 三角 函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 特殊角的三角函数值 1 28 探究新知 特殊角的三角函数值 求下列各式的值： (1) ； (2) (1)解： 提示：表示， 即 = + 29 探究新知 特殊角的三角函数值 求下列各式的值： (1) ； (2) (2) 解： = 30 探究新知 通过三角函数值求角度 如图，在中，，求 的度数； 解： 在图中， ∴ . 特殊角的三角函数值 ∵ 31 探究新知 通过三角函数值求角度 解： 在图中， 特殊角的三角函数值 (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，， 求 α 的度数. ∴ . ∵ 32 探究新知 计算器： 计算陪伴我们成长，我们通常用口算笔算，随着科学技术的飞速发展，计算方式不断更新，计算器和计算机的出现为数学的发展提供了技术保障，使用计算器和计算机是我们学习数学必须的基础课。 用计算器求锐角三角函数值及锐角 33 探究新知 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 例1 (1) 用计算器求的值； 解：第一步：按计算器 键； sin 第二步：输入角度值18； 屏幕显示结果 . 34 探究新知 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 例1 (1) 用计算器求的值； 第一步：按计算器 键； tan 第二步：输入角度值30.6 (因为)； 屏幕显示结果 0.591 398 351. 解：方法①： 35 探究新知 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 例1 (1) 用计算器求的值； 第一步：按计算器 键； tan 第二步：输入角度值30，分值 36 (使用 键)； 屏幕显示结果 0.591 398 351. 解：方法②： ° ′ ″ 用计算器求锐角三角函数值及锐角 36 探究新知 (3) 已知 = 0.501 8，用计算器求 的度数. 第二步：然后输入函数值0. 501 8； 屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行精确). 解： 第一步：按计算器 键； 2nd F sin 还可以利用 键，进一步得到 = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30°7′，精确到 1″ 的结果为30°7′9″). 2nd F ° ′ ″ 用计算器求锐角三角函数值及锐角 37 课堂练习 1.在中，，求的值. 解：如图，∵ . ∴   设AC为a，则，根据勾股定理得 38 课堂练习 2.在中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么的正弦值、余弦值和正切值有变化吗？说明理由. 解：当的各边长都扩大到原来的2倍时，所得的三角形与原三角形相似，的大小没有发生改变，因此的正弦值、余弦值和正切值都没有变化. 39 探究新知 3.计算 (1) ； (2) . 解：原式 = 解：原式 = + + 40 探究新知 4.求满足下列条件的锐角 α . (1) ； (2) . ∴ . ， ∴ . 解： 解： 41 探究新知 5. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3)0.9041 (4) －0.7817 42 课堂小结 余弦函数和正切函数 余弦：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 正切：在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 性质：锐角∠A的大小确定的情况下，为定值，与三角形的大小无关。 43 课堂小结 锐角α 三角 函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 44 课后练习 1.如图，在 中，. (1) 可以由哪两条线段之比表示? A C B D 解： . 45 课后练习 1.如图，在 中， A C B D (2) 若 ，求 的值. 解： . 由 (1)知， 46 课后练习 2. 如图，在 中，斜边 AB 的长为 m， ，则直角边 BC 的长是 ( ) A. B. C. D. A A B C 47 课后练习 3. 已知 α 为锐角，且 是方程 的一个根，求 的值． 解：解方程 ，得 ＋ = = = ∵ α为锐角，， ∴ . 48 课后练习 sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = A. sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = B. 2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 3 ° ′ ″ 7 C. sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F D. 4. 用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ） A 49 谢谢观看！ 九年级数学下 28.1 第二十八章 锐角三角函数 50 $$