02 合理交汇，注重本质，明确方向——三角函数问题备考分析-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■河南省实验中学 程建辉 三角函数是高中数学的重要模块,在高 考中占有重要地位。无论是在函数求值、化 简、证明,还是在解决与其他知识交汇的综合 问题方面,三角函数都有着广泛的应用。由 于三角函数公式众多、变化灵活,同学们在面 对不同类型的三角函数问题时,往往不知道 如何选择合适的解题策略。在高考二轮复习 阶段,同学们要能熟练运用所学知识解决给 角求值、给值求角、求函数取值范围或值域、 证明恒等式等一系列问题。本文将从三角函 数的最值问题,以及三角函数与平面向量、圆 锥曲线等知识的交汇问题来介绍解题策略。 一、三角函数的最值问题 三角函数的最值问题的解题策略较多, 包括数形结合法、函数的有界性法、导数法及 基本不等式法等。 例 1 已知函数f(x)=sin2xsin 2x, 求函数f(x)在区间(0,π)上的最大值。 分析:本题容易想到借助导数工具来求 最大值,也可以利用多元基本不等式,通过拼 凑“和为定值积有最大值”进行求解。 解法一:(导数法)对函数f(x)进行求导 得 f'(x)=2(3sin2xcos2x -sin4x)= 2sin2x(3cos2x-sin2x)=2sin2x(4cos2x-1) =2sin2x(2cos x+1)(2cos x-1)。 令f'(x)=0,得x= π 3 或 2π 3 。 所以当x∈ 0, π 3 时,f'(x)>0,f(x) 单调递增;当 x∈ π3 ,2π 3 时,f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈ 2π 3 ,π 时,f'(x)>0, f(x)单调递增。 因为 f π 3 =338 ,f(π)=0,所以当 x= π 3 时,f(x)取最大值 33 8 。 解法二:(基本不等式法)当x=0或π 时,f(x)=0;当 π 2<x<π 时,f(x)<0;当 0<x< π 2 时,f(x)>0。所以只需分析当 0<x< π 2 时f(x)的最大值即可。 f(x)=sin2xsin 2x=2sin3xcos x= 2 sin6xcos2x。 欲求f(x)的最大值,借助多元基本不等 式,需配凑“和”是定值。 f (x ) = 2 sin6xcos2x = 2 · sin2xsin2xsin2x· 1 3 ·3·cos2x ≤ 2 3 · sin2x+sin2x+sin2x+3cos2x 4 4 = 2 3 3 4 4 = 2 3 ·9 16= 33 8 ,当且仅当sin2x =3cos2x,即x= π 3 时取等号。 所以当x= π 3 时,f(x)取最大值 33 8 。 点评:通过求导的方法求最值是同学们 擅长的解法,解题过程中只要足够细心就能 解决这类问题;多元基本不等式的方法考查 同学们的知识储备及转化思想,配凑“和”是 定值是解决问题的关键所在。 二、三角函数与平面向量的交汇问题 三角函数在定义、图像及性质、三角恒等 变换等方面都与向量知识有交叉,本文择部 分考点进行分析。 例 2 已 知 向 量 a= (2sin x,1- tan2x),b=(cos x,- 3cos2x),且 函 数 f(x)=a·b+1。 (1)求函数f(x)的最大值,并求出f(x) 取最大值时x 的值; 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 (2)先将函数f(x)的图像向右平移 π 6 个 单位,再将横坐标缩短为原来的1 2 ,纵坐标不 变,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单 调递增区间。 分析:(1)先利用向量数量积公式、二倍 角公式及辅助角公式求出函数f(x)的表达 式,再求最大值及其x 的值;(2)先利用图像 平移和伸缩变换规律求出函数g(x)的解析 式,再求单调递增区间即可。 解:(1)由题意可得,f(x)=a·b+1= 2sin x·cos x- 3cos2x(1-tan2x)+1 = sin 2x- 3(cos2x-sin2x)+1=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin2x- π 3 +1。 所以当2x- π 3= π 2+2kπ (k∈Z),即x = 5π 12+kπ (k∈Z)时,函数f(x)取最大值3。 (2)函数f(x)向右平移 π 6 个单位后得到 2sin2x- π 6 -π3 +1=2sin2x-2π3 + 1,再将横坐标缩短为原来的 1 2 后得到函数 g(x)=2sin4x- 2π 3 +1。 令2kπ- π 2≤4x- 2π 3≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 解得 kπ 2+ π 24≤x≤ kπ 2+ 7π 24 ,k∈Z。 所以 函 数 g(x)的 单 调 递 增 区 间 为 kπ 2+ π 24 ,kπ 2+ 7π 24 ,k∈Z。 点评:本题结合数量积公式及两角差的 正弦公式考查正弦函数图像的性质及应用。 例 3 已知 O 是△ABC 内的一点, △BOC,△AOC,△AOB 的面积分别为SA, SB,SC,总有SA·OA→+SB·OB→+SC·OC→ =0成立。此结论称为三角形中的“奔驰定 理”,其是平面向量中一个非常优美的结论。 若O 是锐角△ABC 内的一点,且点O 满足 OA→·OB→=OB→·OC→=OA→·OC→,则以下命题 为真命题的是 。(填写正确命题的序号) ①O 为△ABC 的内心; ② ∠BOC 与∠A 互补; ③|OA→|∶|OB→|∶|OC→|=cos A∶cos B∶ cos C; ④SA ∶SB ∶SC =tan A ∶tan B∶ tan C。 分析:“奔驰定理”的应用非常广泛,很多 结论都跟三角函数相关联,结论的推导利用 的知识也较多,同学们应熟练掌握平面向量 的数量积公式、诱导公式及平面几何的相关 知识。 解:由OA→·OB→=OB→·OC→=OA→·OC→, 可得OB→· OA→-OC→ =0,即OB→·CA→=0, 故OB⊥CA。同理可得OA⊥CB,OC⊥AB。 所以O 为△ABC 的垂心,所以命题①为假命 题。 图1 如图1,延长直线 CO、 BO 分别交AB、AC 于点P、 Q,由命题①的推导结果知 CP⊥AB,BQ⊥AC,则 A、 P、O、Q 四 点 共 圆,所 以 ∠POQ + ∠A =180°。又 ∠POQ=∠BOC,故∠BOC+∠A=180°,即 ∠BOC 与∠A 互补,所以命题②为真命题。 由命 题②的 结 论 可 知,∠BAC=π- ∠BOC,同理可得∠ABC=π-∠AOC,所以 cos A∶cos B=cos(π-∠BOC)∶cos(π- ∠AOC)=cos ∠BOP ∶cos ∠AOP。又 cos ∠BOP∶cos ∠AOP = OP OB ∶ OP OA = OA∶OB ,故cos A∶cos B=OA∶OB。同 理可得cos A∶cos C=OA∶OC,则cos A∶ cos B∶cos C=OA∶OB∶OC,所以命题③ 为真命题。 SA∶SB= 1 2OC ·BP ∶ 12OC·AP = BP∶AP=OPtan ∠POB∶OPtan ∠AOP =tan ∠BOC∶tan ∠AOC=tan(π-A)∶ tan(π-B)=tan A∶tan B。同理可得SA∶ SC=tan A∶tan C,则SA∶SB∶SC=tan A∶ tan B∶tan C,所以命题④为真命题。 综上可得,正确命题的序号为②③④。 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月 点评:本题综合性强,主要考查同学们的 逻辑推理能力和数学运算能力。 三、三角函数与圆锥曲线的交汇 图2 例 4 (2024年武 汉高三统考期末试题) 如图2,椭圆C1: x2 a21 +y 2 b21 =1(a1>b1>0)和C2: x2 a22 +y 2 b22 =1有相同的焦 点F1,F2 离心率分别为e1、e2,B 为椭圆C1 的上顶点,F2P⊥F1P,若 F1、B、P 三点共 线,且垂足P 在椭圆C2 上,则 e1 e2 的最大值为 。 分析:设∠PF1F2=α,结合直角三角形 各边的关系可表示出e1、e2,进而得出 e1 e2 的表 达式,再根据辅助角公式及三角函数的有界 性进行计算即可。 解:设∠PF1F2=α,则e1= c a1 = OF1 F1B = cos α,e2= 2c 2a2 = F1F2 PF1+PF2 = 1 PF1 F1F2 + PF2 F1F2 = 1 cos α+sin α 。 所以 e1 e2 =cos α(cos α+sin α)= 1 2 ·sin 2α + 1 2cos 2α+ 1 2= 2 2sin2α+ π 4 +12。 所以当2α+ π 4= π 2 ,即α= π 8 时,e1 e2 取得 最大值 2+1 2 。 点评:本题考查椭圆的性质及其应用,考 查同学们的转化能力,将所求式子转化为三 角函数是解题关键。 例 5 已知椭圆和双曲线有共同的焦 点F1、F2,P 是它们的一个交点,且∠F1PF2 = π 3 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为e1、 e2,则e1e2 的最小值为 。 分析:利用焦点三角形的面积公式(二级 结论)推导出e1 与e2 之间的关系式,再利用 基本不等式即可求出e1e2 的最小值。 解:结合余弦定理、面积公式及三角恒等 变换相关知识可推导出:椭圆中焦点三角形 的面积S1 = b21tan θ 2 ,双曲线中焦点三角形 的面积S2 = b22 tan θ 2 ,其中∠F1PF2=θ。我 们先推导一个结论,最后再令θ= π 3 即可。 由题意知S1 = b21tan θ 2 = S2 = b22 tan θ 2 , 变形得b21 sin θ 2 cos θ 2 = b22 cos θ 2 sin θ 2 ,即b21sin2 θ 2 = b22cos2 θ 2 ,即(a21 -c2)sin2 θ 2= (c22 -a2)cos2 θ 2 , 两 边 同 时 除 以 c2 得 1 e21 -1 sin2 θ2 = 1- 1 e22 cos2θ2,整理得 sin2 θ 2 e21 + cos2 θ 2 e22 = 1。 将θ= π 3 代入上式得 1 4 e21 + 3 4 e22 = 1,由基 本不等式得1= 1 4 e21 + 3 4 e22 ≥ 3 2e1e2 ,即e1e2≥ 3 2 ,当且仅当e1= 2 2 ,e2= 6 2 时取等号。 所以e1e2 的最小值为 3 2 。 点评:本题考查了椭圆及双曲线的定义、 性质,综合性强,考查同学们的逻辑推理及数 学运算能力。 三角函数题型众多、考法灵活,本文介绍 了常见三角函数部分问题的解题策略,对三 角函数解题策略做进一步研究具有重要的现 实意义,它可以帮助同学们更好地理解三角 函数的本质,掌握不同类型问题的解题方法, 提高分析问题的能力和解题效率,同时也为 高考二轮复习备考提供参考、明确方向。 (责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年2月