09 特殊思维巧应用，平面向量妙突破&10 一道平面向量问题的多种解法-《中学生数理化》高一数学2025年2月刊

■ 景 晖 作为辩证思维模式的两种基本方式,一 般思维与特殊思维是辩证统一的,一般思维 强调普遍性和规律性,而特殊思维则注重个 别性和具体性。在解决平面向量问题时,基 于其自身同时兼备“数”与“形”的双重属性与 基本特征,合理应用特殊思维,或从“数”的特 殊代数属性切入,或从“形”的特殊几何特征 应用,都可以给问题的突破与求解创造更加 合适的条件,达到巧妙解决问题的目的。 一、特殊元素 例1 已知平面向量a,b,c 中,|a|= |b|=|c|=1,且满足a·b= 1 2 ,则(a+b)· (2b-c)的最小值为( )。 A.3+ 3 B.3- 3 C.2+ 2 D.2- 2 解:设OA→=a,OB→=b,OC→=c。由|a| =|b|=1,a·b= 1 2 ,可 得 a·b= |a||b|cos∠AOB=cos∠AOB= 1 2 ,所以 ∠AOB= π 3 。以点O 为坐标原点,OA→ 所在 的直线为x 轴,建立平面直角坐标系Oxy,构 建特殊点,即点 A(1,0),B 1 2 ,3 2 ,如图1 所示。 图1 设点C(cosα,sinα),其中α∈[0,2π), 则(a+b)·(2b-c)= 3 2 ,3 2 ·(1-cosα, 3-sinα)= 3 2 (1-cosα)+ 3 2 (3-sinα) =3- 3 2 (sinα+ 3cosα)=3- 3· sinα+ π 3 ≥3- 3,当且仅当sinα+π3 = 1,即α= π 6 时等号成立,所以(a+b)·(2b- c)的最小值为3- 3。应选B。 点评:根据题设场景,结合向量的模与向 量的夹角,通过特殊点的创设,构建合适的平 面直角坐标系,结合向量的坐标形式,利用向 量“数”的代数属性进行巧妙运算,使得问题 圆满获解。解决平面向量问题,经常要利用 函数与方程思维、三角函数思维及不等式思 维等进行分析与处理。 二、特殊数值 例2 已知向量a=(1,1),b=(1,-1), 若(a+λb)⊥(a+μb),则( )。 A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解:由结论的确定性,可选取特殊数值 μ=1。依题意知a+λb=(1,1)+λ(1,-1) =(1+λ,1-λ),a+μb=a+b=(1,1)+(1, -1)=(2,0)。 因为(a+λb)⊥(a+μb),所 以(a+ λb)·(a+b)=(1+λ,1-λ)·(2,0)=2(1 +λ)=0,解得λ=-1,此时λ+μ=0,λμ= -1。结合题中的选项可知,应选D。 或者,利用常规方法求解。由a+λb= (1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),结合(a +λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)= 0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整 理得λμ=-1。应选D。 点评:已知两个变量之间的和或积为定 值,抓住一个变量为特殊数值来分析,给问题 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 的顺利求解创造更加简捷的条件。注意在不 同特殊数值的选取中,解题过程与对应的参 数值也会随之改变,但最终的结果不会有什 么差异,这充分体现了特殊思维解决一般问 题的理论基础。 三、特殊图形 例3 如图2,在△ABC 中,BC=2AB =4,D,E 分别为BC,AC 的中点,F 为AD 上一点,且满足 AF=BF,则 AF→·BE→= ( )。 图2 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 2 3 解:结合BC=2AB=4,取特殊图形,即 BC⊥AB,如图3所示。 图3 根据 题 设 条 件 知 AB=BD =2。在 Rt△ABC 中,因为AF=BF,所以F 是AD 的中点。 因为 AF→=12AD →=12(BD →-BA→)= 1 2BD →-12BA →,BE→ =BD→ +DE→ =BD→ + 1 2BA →,所以 AF→·BE→= 12BD →-12BA → · BD→+12BA → = 12BD→2 - 14BD→ ·BA→ - 1 4BA →2=12×2 2-0- 1 4×2 2=1。应选B。 点评:根据平面图形的几何特征,选取特 殊情况,构建特殊图形,往往可以给此类求解 定值问题创造更加简捷的方法。抓住问题的 根本,结合两线段长度之间的比例关系,选取 两线段垂直的特殊情况,为顺利解题创造了 条件。 四、特殊性质 例4 已知向量a,b 满足|a-b|= 3, |a+b|=|2a-b|,则|b|= 。 解:(特殊性质法1)已知|a+b|=|2a- b|,当a=0时,可得|0+b|=|0-b|,显然 该关系式成立,此时|a-b|=|-b|=|b|= 3。 (特殊性质法2)已知|a+b|=|2a-b|, 当a=2b 时,可得|2b+b|=|4b-b|= 3|b|,显然该关系式成立,此时|a-b|=|2b -b|=|b|= 3。 点评:抓住题中两向量线性关系的模的 关系式,从特殊性质入手进行特殊化处理,可 以给问题的有效解决创造条件。利用两向量 关系式的模的性质,挖掘其本质属性,回归特 殊场景,是利用特殊思维解决问题的突破口, 也是解题经验的一种积累。 1.△ABC 的外接圆圆心为O,垂心为 H,若 向 量 OH→=m(OA→+OB→+OC→),则 m= 。 提示:不妨设△ABC 为直角三角形,则 其外接圆圆心为斜边的中点O,垂心 H 与C 重合,此时OC→=OH→。因为OA→=-OB→,所 以OA→+OB→+OC→=OC→,所以 OH→=OC→= mOC→,所以m=1。 2.已知 D 是△ABC 的边BC 上任意一 点,且AD→=λAB→+μAC→(λ,μ∈R),那么λ+ μ= 。 提示:不妨设D 是△ABC 的边BC 上的 中点,则 AD→=12AB →+12AC →。因为 AD→= λAB→+μAC→,所以λ+μ=1。 作者单位:江苏省海安市实验中学 (责任编辑 王琼霞) 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月 ■胡贵平 题目 在Rt△ABC 中,CA=CB=2, M,N 是斜边AB 上的两个动点,且 MN= 2,求CM→·CN→ 的取值范围。 分析:这道题有一定的难度,通过转换思 维方法,可以有四种不同的解法。 解法1:(特殊值法)不妨取特殊值转化 求解。若点 M 在点A 处,点 N 在线段AB 的中点处(或点 N 在点B 处,点 M 在线段 AB 的中点处),则CM→·CN→ 取得最大值,此 时CA=CB=2,CN= 2,∠MCN=45°,可 得CM→·CN→=2。 当 M,N 两点关于线段AB 的中点对称 时,CM→·CN→ 取得最小值。由 MN= 2得 CM=CN = 10 2 ,cos∠MCN = 3 5 ,所 以 CM→·CN→=32。 所以CM→·CN→ 的取值范围为 32,2 。 解法2:(坐标法)以C为原点,CA 所在的 直线为x 轴,建立平面直角坐标系Cxy(图 略)。由直线AB 的方程为x+y-2=0,可设 点M(a,2-a),N(b,2-b)(a>b)。由MN= 2,可 得 (a-b)2+[(2-a)-(2-b)]2 = 2,化简得a-b=1。所以CM→·CN→=ab+ (2-a)(2-b)=a(a-1)+(2-a)(3-a)= 2a2-6a+6=2a- 3 2 2 + 3 2 (1≤a≤2)。 所以当a=1或a=2时,CM→·CN→ 取得 最大值2;当a= 3 2 时,CM→·CN→ 取得最小值 3 2 。所以CM→·CN→ 的取值范围为 32,2 。 解法3:(基底法)因为CM→·CN→=(CA→+ AM→)(CB→ + BN→)= (CA→ +λAB→)· CB→+λ-12 AB→ =[(1-λ)CA→+λCB→]· λ+ 1 2 CB→-λ-12 CA→ =8λ-14 2 + 3 2 ,且0≤λ≤ 1 2 ,所以CM→·CN→ 的取值范围 为 3 2 ,2 。 说明:BN→=BA→+AM→+MN→=BA→+ AM→+ 12AB → =BA→ +λAB→ + 12AB → = λ- 1 2 AB→。 解法 4:(三 角 函 数 法)根 据 题 意 得 △CMN 的面积为 1 2S△ABC=1 。因为S△CMN = 1 2|CM →||CN→|·sin∠MCN,所以|CM→|· |CN→|= 2sin∠MCN,所以CM →·CN→=|CM→|· |CN→|cos∠MCN= 2tan∠MCN。 下 面 求 tan∠MCN 的取值范围。过点C 作CD⊥ AB 交AB 于点D(图略)。设 DM=x,则 DN= 2-x,CD= 2。 易得tan∠DCM = x 2 ,tan∠DCN = 2-x 2 。 所以tan∠MCN=tan(∠DCM+∠DCN) = tan∠DCM+tan∠DCN 1-tan∠DCM·tan∠DCN = x 2 + 2-x 2 1- x 2 · 2-x 2 = 2 x2- 2x+2 = 2 x- 2 2 2 + 3 2 (0≤x≤ 2)。 据上得tan∠MCN 的取值范围为 1,􀭠􀭡 􀪁􀪁 4 3 ,所以CM→·CN→ 的取值范围为 32,2 。 作者单位:甘肃省白银市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年2月