湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题

数学答案(YL)-1-（共 8页） 雅礼中学 2025届高三一模试卷 数学参考答案 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A B C C D A B ACD BCD ACD 5．C【详解】因为 BD DC   ，所以D为 BC的中点，所以  12AD AB AC     ． 又 2AE EB   ，所以 2 3 AE AB   ，所以 2 3 CE CA AE AB AC         ， 所以  1 2 7 12 3 6 2AD CE AB AC AB AC AB AC               ， 所以 7 1, 6 2     ，所以 2 3    ．故选：C 6．D【详解】当 1n  时， 21 1 1 1a S   ，当 2n  时， 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       ， 当 1n  时， 1 1a  适合上式，所以 na 的通项公式为 2 1na n  ， 所以 1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) · (2 1)(2 1) 4 2 1 2 1 n n n n n n n nb a a n n n n              ， 当 n为偶数时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 4 3 5 4 5 7 4 2 1 2 1n T n n                                  所以   1 1 1 4 4 2 1 5n T n       ， 当 n为奇数时， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 4 3 5 4 5 7 4 2 1 2 1n T n n                                  所以   1 1 1 4 4 2 1 4n T n       ， 又因为不等式  *nT n N 恒成立，所以  maxnT  ，所以 1 5    ， 所以实数的最小值为 1 5  .故选：D. 7．A【详解】因对于 Rx  ， ( 2) ( ) 0f x f x   ，则      4 2f x f x f x     ， 故函数  f x 为周期函数，4是函数  f x 的一个周期， 又  2 1f x  是R 上的奇函数，则 ( 2 1) (2 1) 0f x f x     ，故  f x 的图象关于点  1,0 对称， 于是 1 3 0 2 2 f f            ， 5 7 5 1 0 2 2 2 2 f f f f                           ， 在    2 0f x f x   ，取 3 2 x  ，得 3 7 0 2 2 f f            ， 因 1( ) ( ) 2 g x xf x  ， 则 (1) (2) (3) (4) (5)g g g g g    1 3 5 7 9( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 2 2 2 2 2 f f f f f     1 3 5 7 3 7 9[ ( ) ( )] 3[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 5 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 f f f f f f f       ， 9 15 ( ) 5 ( ) 5 2 2 f f   .故选：A 数学答案(YL)-2-（共 8页） 8．B【详解】如图，设 PM的中点为 N，则由CN 平面 PAB，可知 2PC CM  ， 又 90APB  ， 2PA PB  ，所以 1 2 2 PM AB  ，所以 2 2 PN  ， 所以 2 22 142 ( ) 2 2 CN    ， 又三棱锥 P ABC 的外接球的球心 O在过M且垂直平面 PAB的垂线上， 设球心 O到平面 PAB的距离为 t，球 O的半径为 R， 则 2 2 2 2 22 14( 2) ( ) ( ) 2 2 t R t     ，解得 2 14 t  ， 所以 2 2 162 7 7 R    ，所以球 O的表面积为 2 64π4π 7 R  ． 10．BCD【详解】对于 A，取 1 2 a  ，画出函数图象， 可知  f x 在  ,0 不是单调递减；故 A错误； 对于 B：对于 B，当 1 2 a  时， 当 x a  时，   11 1 2 f x x a       ； 当 a x a   时，   2 2f x a x   显然取得最小值 a ； 当 x a 时，   2 2 2f x x a     ， 综上：  f x 取得最小值 a ，故 B正确； 对于 C，结合图像， 易知在 1x a ， 2x a 且接近于 x a 处，        1 1 1 2 2 2, , ,M x f x x a N x f x x a  的距离最小， 当 1x a 时，  1 0y f x  ，当 2x a 且接近于 x a 处，  2 2 2y f x a   ， 数学答案(YL)-3-（共 8页） 此时， 2 1 2 2MN y y a     ，故 C正确； 依题意， 0a  ， 当 x a  时，   1f x x   ，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线； 当 a x a   时，   2 2f x a x  ，易知其图象是，圆心为  0,0 ，半径为 a的圆在 x轴下方 的图象（即半圆）； 当 x a 时，   2f x x  ，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线； 因为        3 3 3 4 4 4, , ,P x f x x a Q x f x x a    ， 结合图象可知，要使 PQ 取得最小值，则点 P在    2f x x x a     上， 点Q在   2 2f x a x    a x a   ， 同时 PQ 的最小值为点O到    1f x x x a     的距离减去半圆的半径 a， 此时，因为    1f x y x x a      的斜率为 1 ，则 1OPk  ， 故直线OP的方程为 y x ， 联立 1 y x y x      ，解得 1 2 1 2 x y         ，则 1 1, 2 2 P       ， 显然要保证 1 1, 2 2 P       在    1f x x x a     上，才能满足 PQ 取得最小值， 所以只需 1 2 a   ，即 10, 2 a      都可满足题意，保证 min 2 2 PQ d a a    ， 否则 PQ 无最小值，故 10, 2 a      .D正确；故选：BCD 11．ACD【详解】选项 A：将方程中的 x和 y互换，得到 2 2 1y x yx   ，与原方程一致， 因此曲线关于直线 y x 对称，A正确； 选项B：通过分析方程 2 2 1  x y xy ，设固定 x，解关于 y的二次方程，判别式要求 23 4 0x   ， 得 2 3 x  ，即 2 2 3 3 x   ，超出 1 1x   ，同理 y的范围也超过 1,1 ，B错误； 选项 C：将直线 1 2 y x  代入曲线方程，解得交点为 1 13 1 13, 4 4          和 1 13 1 13, 4 4          ，故弦长为 2 2 13 13 26 2 2 2                 ，C正确； 选项 D： 2 2 1,x y xy  ∵ 则 2 2 2( ) 3( ) 4, ( ) 4,x y x y x y       即 2 2,x y    又 2 2 1x y xy  ∵ ，即 2( ) 1 3 x yxy   ， 数学答案(YL)-4-（共 8页） 则     2 2 2 2 26 6 2 6 4 2 6 4( ) 2 3 3 3 3 3 3 x y x y x y x y xy x y                                     2 22 2 6( ) 2 6 6( ) 1 2 6 4 3( ) 2 6 3 3 3 3 3 3 x yx y x yx yx y x y x y                       ， 同理可得：   2 2 6 6 3 3 6 33 x y x y                        ， 则曲线C的上任一点  ,P x y 到 6 6 6 6, , ,3 3 3 3M N                 的距离之和为：    3 36 6 2 2, 3 3 PM PN x y x y              曲线C表示以 ,M N为焦点且 2 32, 3 a c  的椭圆，则 2 2 6 3 b a c   ， 则线段 PQ 的最大值为 2 2 2,Da  正确；故选：ACD 12． | 2x x  13． 7 3 1, 3 2         【详解】①情形一：分别取 , ,AB AC AD的中点 , ,M E F， 由中位线性质可知 2 2 ME EF  ， 此时平面MEF 为Ω的一个 1阶等距平面， m为正四面体高的一半，等于 1 6 32 2 3 3    . 由于正四面体有 4个面，这样的 1阶等距平面 平行于其中一个面，有 4 种情况； ②情形二：分别取 , , ,AB AC CD DB的中点 , , ,P Q R S 将此正四面体放置到棱长为 1的正方体中， 则m为正方体棱长的一半，等于 1 2 . 由于正四面体的六条棱中有 3组对棱互为异面直线， 这样的 1阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有 3种情况. 综上，当m的值为 3 3 时， 有 4个；当m的值为 12 时， 有 3个. 所以符合条件的 有 7个，m的所有可能取值构成的集合是 3 1, 3 2         ；故答案为：7； 3 1, 3 2         14．12 2π 【详解】第一步：结合四棱柱与圆锥的结构特征确定点 P的轨迹 因为 1 1CC AA∥ ，所以直线 AP与 1AA所成的角为 π 6 ， 因为 1AA 底面 ABCD，所以点 P的轨迹是以 1AA为轴（其中A为顶点， 1A为 底面圆心），母线与轴所成角为 π 6 的圆锥的侧面与四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的 表面的交线．（关键：由相交的两条直线的夹角为定值，能联想到圆锥的母 线与轴之间的位置关系，从而找到点 P运动轨迹） 第二步：数形结合求点 P的轨迹长度 如图，在线段 1 1AB 和 1 1AD 上分别取点 ,M N，使得 1 1 3AM AN  ，（提示：因 为 1 3 3AA  ，且 AP与 1AA所成的角为 π 6 ，所以计算可得圆锥的底面半径为 数学答案(YL)-5-（共 8页） 3，故取 1 1 3AM AN  ） 连接 ,AM AN ，则点 P在四边形 1 1ABB A 与四边形 1 1ADD A上的运动轨迹为线段 AM 和 AN，且 6AM AN  ． 当 P在四边形 1111 DCBA 上运动时，其轨迹是以 1A为圆心，3为半径的圆的三分之一．（提示： 1 1 1 2π 3 B AD BAD   ，故符合要求的弧长为圆的 1 3 ） 综上，点 P的轨迹长度为 16 6 6π 12 2π 3      ． 故答案为：12 2π . 三、解答题 15．（1）在 ABC中，由正弦定理及 cos sin 2 0a C a C b c    ， 得 sin cos sin sin sin 2sin 0A C A C B C    ，又 sin sin( ) sin cos sin cosB A C A C C A    ， 则 sin cos sin sin sin cos sin cos 2sin 0A C A C A C C A C     ，而 sin 0C  ， 化简得 sin cos 2A A  ，即 πsin( ) 1 4 A   ，而 π π 5π 4 4 4 A   ，因此 π π 4 2 A  ， 所以 π 4 A  . （2）在 ABC中，由 3cos 5 C   ，得 4sin 5 C  ， 2 2 2sin cos sin 2 2 10 B C C   ， 由正弦定理 sin sin c b C B  ，得 4 2c b ，由D是边 BC中点，得 2AD AB AC     ， 则 2 2 2 2 24 ( ) 2 cos 41AD AB AC b c bc A b         ，因此 41| | 2 AD AD b   ， 在 ADC△ 中，由正弦定理 sin sin b AD ADC C   ，得 8 41sin sin 205 bADC C AD    . 16．（1）100个病人中恰好有 80人被治愈的概率为    2080 80100C 1f p p p  ， 则          20 19 1980 79 80 79 80100 100C 80 1 20 1 20 1 C 4 5f p p p p p p p p         ， 令   0f p  ，得 0.8p  ， 当  0,0.8p 时，    0,f p f p  单调递增， 当  0.8,1p 时，    0,f p f p  单调递减， 所以  f p 的最大值点为 0 0.8p  . （2）设事件M  “从患者人群中抽一名痊愈者”，事件 1N  “该患者服用药品A治疗”， 事件 2N  “该患者服用药品 B治疗”，事件 3N  “该患者服用药品C治疗”， 则              1 1 2 2 3 3P M P N P M N P N P M N P N P M N   因此：   1 152% % 75% 48% % 70% % 80% 2 2 P M n n n                    所以    72.6% 7.5% % 0 96P M n n     . （3）设随机变量Y为生产药品C产生的年利润 ①若投入 1条生产线，由于服用药品C的患者的占比总大于 20%，所以一条生产线总能运行， 此时对应的年利润    1000, 1000 1, 1000Y P Y E Y    ②若投入 2条生产线，当 20% 40%X  ，1条生产线运行， 年利润   11000 300 700, 700 3 Y P Y     ，当 40%X  时，2条生产线运行， 年利润   21000 2 2000, 2000 3 Y P Y     ， 数学答案(YL)-6-（共 8页） 此时Y的分布列如下： Y 700 2000 P 1 3 2 3 所以   1 2 4700700 2000 3 3 3 E Y      ； ③若投入 3条生产线，当 20% 40%X  时，1条生产线运行， 年利润 1000 300 2 400,Y       1400 3 P Y   ， 当 40% 60%X  时 2条生产线运行，年利润   11000 2 300 1700, 1700 2 Y P Y      ， 当 60%X  时，3条生产线运行，年利润   11000 3 3000, 3000 6 Y P Y     ， 此时Y的分布列如下： Y 400 1700 3000 P 1 3 1 2 1 6 所以   1 1 1 4450400 1700 3000 3 2 6 3 E Y        综上所述，欲使该药企生产药品C的年度总利润均值最大，应引入两条生产线. 17．（1）由 0a  ，则函数    lnf x x b x  ，易知其定义域为 0x x  ， 由    lnf x x b x f x      ，则函数  f x 为偶函数， 当 0x  时，   ln bf x x x  ，显然当 0b  时，函数  f x 在  0,  上单调递增， 当 0b  时，求导可得   1 1bxf x b x x     ，令   0f x  ，解得 1x b   ， 当 10 x b    时，   0f x  ，当 1x b   时，   0f x  ， 所以函数  f x 在 10, b      上单调递增，在 1 , b       上单调递减， 综上，当 0b  时，函数  f x 在  , 0 上单调递减，在  0,  上单调递增； 当 0b  时，函数  f x 在 1, b      与 10, b      上单调递增，在 1 ,0 b       与 1 , b       上单调递减. （2）由 1a   时，则函数    ln 1f x x b x   ，可得 1 0x   ，解得 1x   或 1x  ， 所以函数  f x 的定义域为    , 1 1,    ，由（1）易知函数  f x 为偶函数， 当 1x  时，则函数    ln 1f x x bx   ， 当 0b  时，函数  f x 在  1, 上单调递增，此时无极值； 当 0b  时，求导可得   1 1 1 1 bx bf x b x x        ，令   0f x  ，解得 1 1bx b    ， 当 10 bx b    时，   0f x  ，当 1bx b   时，   0f x  ， 所以函数  f x 在 10, b b       上单调递增，在 1,b b      上单调递减， 故函数  f x 的极大值为  1 1 lnbf b b b          ， 数学答案(YL)-7-（共 8页） 由函数  f x 为偶函数，则函数  f x 的极大值为  1 1 lnbf b b b          ， 综上，当 0b  时，函数  f x 无极值； 当 0b  时，函数  f x 的极大值为  1 lnb b   ，无极小值. 18．（1）如图，连接CM，则 1, 1, 120DM BC BM MBC      ， 由余弦定理得 2 2 2 cos 3CM BM BC BM BC MBC      ， 在 ,CDM ACM  中，有 2 2 2 2 2 2,DM CM CD AM CM AC    ， 所以 ,CM DM CM AM  ，又 ,DM AM M DM AM ∩ 、 平面 ADM ， 所以CM 平面 ADM . （2）取DM 的中点O，连接 AO，则 AO DM ， 由（1）知CM 平面 ADM .又CM 平面 BCDM ， 所以平面 BCDM 平面 ADM ，又平面 BCDM 平面 ADM  DM ， AO平面 ADM ， 所以 AO 平面 BCDM ，由 ,DM CM 平面 BCDM ，得 ,AO DM AO CM  ， 过M 作 / /Mz AO，则 ,Mz DM Mz CM  ，又CM DM ， 建立如图空间直角坐标系M xyz ， 则 1 3 1 1 3(1,0,0), (0, 3,0), ( , ,0), ( ,0,0), ( ,0, ) 2 2 2 2 2 D C B O A ， 得 1 3( ,0, ) 2 2 AD    ， 3 3 1 3( 1, , ), ( ,0, ) 2 2 2 2 AB AM        ， 设平面 ABM 的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 3 3 0 2 2 1 3 0 2 2 n AB x y z n AM x z                 ，令 3x  ，则 1, 1y z ， 得 ( 3,1, 1)n    ，设直线 AD与平面 ABM 所成角为， 则 3 15sin cos , 51 5 AD n AD n AD n              ， 即直线 AD与平面 ABM 所成角的正弦值为 15 5 . （3）易知平面 BCDM 的一个法向量为 1(0,0,1)n  . 由（2）知， 1 3 1 3(1,0,0), ( ,0, ), ( , 3, ) 2 2 2 2 MD AD AC         ， 由 2AP PC   ，得 2 2 1 3 1 2 3 3( , 3, ) ( , , ) 3 3 2 2 3 3 3 AP AC         ， 所以 5 2 3 3( , , ) 6 3 6 DP AP AD       . 设平面 PDM 的一个法向量为 ( , , )m a b c  ， 则 0 5 2 3 3 0 6 3 6 m MD a m DP a b c                ，令 1b  ，得 0, 4a c   ， 得 (0,1, 4)m    ，设平面 PDM 与平面BCDM 所成角为 ， 则 1 1 1 4 4 17cos cos , 1717 1 m n m n m n           ， 即平面 PDM 与平面 BCDM 所成角的余弦值为 4 17 17 . 数学答案(YL)-8-（共 8页） 19．（1）抛物线 C的方程可化为 2 1 4 y x ，求导可得   1 2 y x ， 将点 nA 的坐标代入抛物线 C的方程，有 2 1 4n n y x ， 过点 nA 的切线的方程为   1 2n n n y y x x x   ，代入 2 1 4n n y x ，有  21 1 4 2n n n y x x x x   ， 整理为 2 1 1 2 4n n y x x x  ，令 0y  ，可得 1 2 n x x ，有 1 1 2n n x x  ， 故数列 nx 是公比为 12 的等比数列， 同理，数列 nx  也是公比为 12 的等比数列； （2）由焦点 (0,1)F ，设直线 1 1AB 的方程为 1y kx  ， 联立方程 2 4 1 x y y kx      消去 y后整理为 2 4 4 0x kx   ，有 1 1 4x x   ， 由数列   ,n nx x 是公比为 12 的等比数列，有 1 1 1 1,2 2n nn n x xx x    ， 有 1 11 1 1 4 16 2 2 16 4 4n n n n n x xn n na            ， 有 2 3 1 1 2 3 1 4 4 4 4 4n n n n nS         ， 两边乘以 1 4 ，有 2 3 4 1 1 1 2 3 1 4 4 4 4 4 4n n n n nS         ， 两式作差，有 2 3 4 1 3 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4n n n nS        ， 有 1 1 11 3 4 4 14 41 4 n n n nS         ，可得 4 3 4 9 9 4n n nS    ； （3）由（2）知，点 nA 的坐标为 2 1 1 1 ,2 4n n x x        ，点 nB 的坐标为 2 1 1 1 ,2 4n n x x         ， 直线 n nA B 的斜率为 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 2 n n n n n n x x x x x x x x             ， 直线 n nA B 的方程为 12 1 1 1 1 1 4 4 2 2n n n x x x xy x           ， 令 0x  ，有 121 1 1 1 1 1 4 1 4 2 2 4n n n n x x x xy               ， 故当 *Nn 时，直线 n nA B 过定点 1 10, 4n       ． 数学试题(YL)-第 1页-(共 4页) 雅礼中学 2025届高三一模试卷 数 学 命题人: 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上,写在本试卷上无效。 3.考试结束,监考员将试题卷,答题卡一并收回。 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.下列散点图中,线性相关系数最小的是 A. B. C. D. 2.已知集合 { || | 3}A x x ,集合 2| 4B x x ,则 A B ∩ A. ( 2,2) B. ( )3,3 C. ( 3, 2) D. ( 2,3) 3.若复数 z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上,则 1 z 的对应点均在 A.一条直线上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.一支双曲线上 4.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线,如图所示.已知隧道高为 6m,宽为8m,隧道内 设置两条车道,且隧道内行车不准跨过中间的实线.若载有集装箱的货车要经过此隧道,货 车宽度为 2m,集装箱宽度与货车宽度相同,则货车高度(即集装箱最高点距地面的距离) 的最大值为 A.3.5m B. 4m C. 4.5m D.5m 5.在 ABC中, 2, 3, , 2AB AC BD DC AE EB .若 AD CE AB AC ,则 的 值为 A. 3 2 B. 4 5 C. 2 3 D. 1 3 6.已知等差数列 na 的前 n项和 2nS n ,数列 nb 的前 n项和为 nT ,且 1 ( 1)nn n n nb a a , 数学试题(YL)-第 2页-(共 4页) 若不等式 *nT n N 恒成立,则实数 的最小值为 A. 4 5 B. 1 C. 1 4 D. 1 5 7.若定义在R 上的函数 f x 满足 ( 2) ( ) 0f x f x , (2 1)f x 是奇函数, 1( ) 1 2 f ,设函 数 1( ) ( ) 2 g x xf x ,则 (1) (2) (3) (4) (5)g g g g g A.5 B.4 C.3 D.2 8.已知三棱锥 P ABC 四个顶点都在球 O面上, 2PA PB PC , 90APB ,M为 AB的中点,C在面 APB内的射影为 PM的中点,则球 O的表面积等于 A. 128 7 B. 64 7 C. 32 7 D. 16 7 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。 9.已知 2 1 n mx x (常数 0m )的展开式中第 5项与第 7项的二项式系数相等,则 A. 10n B.展开式中奇数项的二项式系数的和为 256 C.展开式中 15x 的系数为 845m D.若展开式中各项系数的和为 1024,则第 6项的系数最大 10.设 0a ,已知函数 2 2 1, , , , 2, . x x a f x a x a x a x x a 则 A. f x 在 , 0 上单调递减 B.当 1 2 a 时, f x 存在最小值 C.设 1 1 1 2 2 2, , ,M x f x x a N x f x x a ,则 2MN D.设 3 3 3 4 4 4, , ,P x f x x a Q x f x x a ,若 PQ 存在最小值,则 10, 2a 11.已知曲线 C的方程为 2 2 1 x y xy ,下列说法正确的有 A.曲线 C关于直线 y x 对称 B. 1 1x , 1 1y C.曲线 C被直线 1 2 y x 截得的弦长为 26 2 D.曲线 C上任意两点距离的最大值为 2 2 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。 12.已知集合 2A x x ,则 RA . 数学试题(YL)-第 3页-(共 4页) 13.已知 是棱长为 2的正四面体 ABCD,设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合 为M ,若M 中元素的个数为 k,则称 为 的 k阶等距平面,M 为 的 k阶等距集.如果 为 的 1阶等距平面且 1阶等距集为 m ,则符合条件的 有 个,m的所有可能 取值构成的集合是 . 14.已知四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中,底面 ABCD是平行四边形, 2 3 DAB , 1AA 底面 ABCD, 1 3 3AA AB AD ,点 P是四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 表面上的一个动点,且直线 AP与 1CC 所成的角为 6 ,则点 P的轨迹长度为 . 四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13分)记 ABC的内角A, B,C的对边分别 a,b, c,已知 cos sin 2 0a C a C b c . (1)求A; (2)设D是边 BC中点,若 3cos 5 C ,求 sin ADC . 16.(本小题满分 15分)现市场上治疗某种疾病的药品有 ,A B两种,其治愈率与患者占比如 表所示,为试验一种新药C,在有关部门批准后,某医院把此药给 100个病人服用.设药C 的治愈率为 0 1p p ,且每位病人是否被治愈相互独立. A B C(新药) 治愈率 75% 70% p 患者占比 52% 48% (1)记 100个病人中恰有 80人被治愈的概率为 f p ,求 f p 的最大值点 0p ; (2)设用新药C的患者占比为 %n (药品 ,A B减少的患者占比,均为新药C增加占比的一半, 0 96n ,以(1)问中确定的 0p 作为 p的值,从已经用药的患者中随机抽取一名患者, 求该患者痊愈的概率(结果用 %n 表示) (3)按照市场预测,使用新药C的患者占比 X 能达到 20%以上,不足40%的概率为 1 3 ,不低 于 40%且不超过60%的概率为 12 ,超过60%的概率为 1 6 ,某药企计划引入药品C的生产线, 但生产线运行的条数受患者占比的影响,关系如下表: 患者占比 20% 40%X 40% 60%X 60%X 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行,年利润为 1000万,若某条生产线未运行,年亏损 300万,欲使该药企 生产药品C的年总利润均值最大,应引入几条生产线? 数学试题(YL)-第 4页-(共 4页) 17.(本小题满分 15分)已知函数 lnf x x a b x . (1)当 0a 时,讨论函数 f x 的单调性; (2)当 1a 时,求函数 f x 的极值. 18.(本小题满分 17分)在平行四边形 ABCD中(如图 1), 2 2AB BC ,M 为 AB的中点, 将等边 ADM 沿DM 折起,连接 ,AB AC,且 2AC (如图 2). (1)求证:CM 平面 ADM ; (2)求直线 AD与平面 ABM 所成角的正弦值; (3)点 P在线段 AC上,且满足 2AP PC ,求平面 PDM 与平面BCDM 所成角的余弦值. 19.(本小题满分 17分)已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F,在第一象限内的点 1 1 1,A x y 和第 二象限内的点 1 1 1,B x y 都在抛物线 C上,且直线 1 1AB 过焦点 F.按照如下方式依次构造点 ( 2,3, )nA n :过点 1nA 作抛物线 C的切线与 x轴交于点 1nD ,过点 1nD 作 x轴的垂线与抛 物线 C相交于点 nA ,设点 nA 的坐标为 ,n nx y .用同样的方式构造点 ( 2,3, )nB n ,设点 nB 的坐标为 ,n nx y . (1)证明:数列 ,n nx x 都是等比数列; (2)记 16n n n na x x ,求数列 na 的前 n项和 nS ; (3)证明:当 *Nn 时,直线 1 1 2 2, , , ,n nAB A B A B 都过定点