9.2 正态分布（同步课件）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一下册）

高教版2023修订版 拓展模块一下册 9.2 正态分布 新课引入 01. 新知探究 02. 典例分析 03. 课堂练习 04. 课堂小结 05. 课后作业 06. 教学目标 通过生活情境引入正态分布，让学生经历从实验数据到理论模型的抽象过程. 过程与方法 情感、态度与价值观 通过学习正态分布的应用，让学生感受到数学来源于生活并服务于生活，激发学生学习数学的兴趣. 知识与技能 了解正态分布的概念、正态曲线的形状及其性质；理解标准正态分布的定义及其概率计算方法. 教学重难点 理解正态分布的定义、正态曲线的形状及其性质. 重 能够将正态分布理论应用于实际问题，解决如概率计算、区间估计等实际问题. 难 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 中职学校女学生的身高情况调查 情境1 为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158 159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 162 159 157 159 149 164 168 159 153 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 情境1 下面根据这些数据绘制频率分布直方图． 上述60个数据中，最大值为169，最小值为146．它们的差是169－149=23．取组距为3，由于 故将全部数据分为8组．为下列各区间： ［145.5，148.5），［148.5，151.5）， ［151.5，154.5），［154.5，157.5）， ［157.5，160.5），［160.5，163.5）， ［163.5，166.5），［166.5，169.5）． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 情境1 计算出各小组的频数、频率，列出频率分布表： 正 正正正 1.000 60 合计 0.050 3 ［166.5，169.5） 0.167 10 正正 ［163.5，166.5） 0.183 11 正正一 ［160.5，163.5） 0.300 18 ［157.5，160.5） 0.133 8 ［154.5，157.5） 0.100 6 正一 ［151.5，154.5） 0.050 3 ［148.5，151.5） 0.017 1 一 ［145.5，148.5） 频率 频数 个数累计 分组 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 情境1 绘制频率分布直方图（如图） 从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 高尔顿钉板实验 情境2 如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入 口处放入一个直径小于两颗钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以0.5的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内．试作小球落入空槽内的频率分布直方图． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 高尔顿钉板实验 情境2 把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图． 如果把上述小球落入的区间从左往右编号1，2，…，10，那么区间的编号ξ可以看做离散型随机变量． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 思考：如果将数据无限增多且组距无限缩小，上述频率分布直方图有何变化？ 数据无限增多，组距无限缩小 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 正态曲线 像一条钟形曲线 中间高,两边低,左右对称 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小，则上述频率分布直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲线，称为正态曲线． 正态曲线 相应于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 正态曲线 对于上图所示的正态曲线，可以用上图中阴影部分的面积F(x1<ξ<x2)表示连续型随机变量ξ取值于区间(x1， x2)的概率，用下图中阴影部分的面积F(x)表示连续型随机变量ξ取值于区间(-∞， x)的概率，容易看出，对于随机变量ξ的每一个值x都有唯一的 F(x)与之相对应，称F(x)为连续型随机变量ξ的正态分布． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 研究表明，正态曲线的方程为 其中σ和μ是两个参数． 在生产实践和科学研究中，经常会遇到类似的随机现象．如，测量的误差、某地区人群的身高、某月的平均气温等． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 正态曲线的特点 （1）曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；  （2）曲线在x=μ时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状； （3）当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．正态曲线与 x 轴之间的区域的面积总为1. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 标准正态分布 参数μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作N(0，1). 当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于x的概率记作Φ(x)，即Φ(x)=P(ξ <x)，其几何意义是图中的阴影部分的面积．一般地， Φ(x)可通过查标准正态分布表(见附录)得到. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 可以证明Φ(x)有如下性质：Φ(-x) =1-Φ(x) ． 当随机变量ξ服从正态分布N(μ， σ²)时，有以下计算公式． P(ξ≥a) =1- Φ P(ξ<b) =Φ P(a≤ξ<b) = Φ- Φ ． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 例1 解： 若ξ ~N(0，1)，查表计算： （1）P(ξ <2.8) ； （2）P(ξ ≥2)； （3）P(ξ <-1)． （1）查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974  ； （2） P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ； （3） P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587．   新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 例2 解： 若ξ ~N(1，2²)，查表计算： （1） P(ξ <3) ； （2） P(ξ ≥-2)． （1） P(ξ<b)=Φ= Φ(1)=0.841 3； （2） P(ξ ≥-2)=1-Φ= 1-Φ(1.5)=1-[1-Φ(1.5)] = Φ(1.5)=0.933 2． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 假设特别地， 上述结果可用右图表示. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 可以看出，服从正态分布的随机变量ξ几乎总是取之于区间(μ-3σ， μ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，也就是说ξ在此区间以外取值是小概率事件，这种情况在一次试验中是几乎不可能发生的，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ²)的随机变量ξ只取区间(μ-3σ，μ+3σ)内的值，这就是正态分布的3σ原则． 正态分布的3σ原则 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 例3 解： 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(120， 100).  （1）求考生成绩ξ位于区间(110， 130)内的概率； （2）若此次考试共有2000名考生，试估计成绩在区间(100，140)内的考生人数． 分析：ξ ~N(120，100)，μ=120， σ =10． （1） P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成绩位于区间(110， 130)内的概率是 0.6826； 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 例3 解： 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(120， 100).  （1）求考生成绩ξ位于区间(110， 130)内的概率； （2）若此次考试共有2000名考生，试估计成绩在区间(100，140)内的考生人数． （2） P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考生成绩在区间(100，140)内的概率为 0.954 4． 于是，成绩在区间(100，140)内的考生大约有  2000×0.954 4 =1909(人) ． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 解析 1. 设ξ ~N(1，9)，求P(ξ≥10)和P(ξ <4) ．   ξ ~N(1，9)，μ=1， σ =3． P(ξ≥10)=1-Φ= 1-Φ(3)=1-0.9987=0.0013; P(ξ<4)=Φ= Φ(1)=0.841 3. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 解析 2. 某校高三男生共1000人．他们的身高X (单位：cm)近似服从正态分布 N(176，16)， 身高在区间(172，180)内的男生人数大约有多少？  ξ ~N(176，16)，μ=176， σ =4． P(172< ξ <180) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成绩位于区间(172，180)内的概率是 0.6826； 考生大约有 1000×0.6826 =683(人) ． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 解析 3. 某批灯有10000 个，其寿命(单位：h)服从正态分布N(1000，100²)，试估计寿命在下列范围内的灯的个数． （1）(900，1100) ； （2）(800，1200) ． （1）P(900< ξ <1100) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826， 灯大约有 10000×0.6826 =6826(个) ． （2）P(800< ξ <1200) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9545， 灯大约有 10000×0.9545 =9545(个) ． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 研究表明，正态曲线的方程为 其中σ和μ是两个参数． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 正态曲线 相应于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 正态曲线的特点 （1）曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；  （2）曲线在x=μ时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状； （3）当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．正态曲线与 x 轴之间的区域的面积总为1. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 可以证明Φ(x)有如下性质：Φ(-x) =1-Φ(x) ． 当随机变量ξ服从正态分布N(μ， σ²)时，有以下计算公式． P(ξ≥a) =1- Φ P(ξ<b) =Φ P(a≤ξ<b) = Φ- Φ ． 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 假设特别地， 上述结果可用右图表示. 新课引入 新知探究 典例分析 课堂练习 课堂小结 课后作业 1.基础作业：记忆概念与完成《学习指导与练习》； 2.中等作业：复习正态分布的3σ原则; 3.拓展作业：完成习题9.2. 下 课 $$