第11讲 二项分布与超几何分布（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第11讲 二项分布与超几何分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 二项分布的概率与分布列问题】 【例1.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【例1.2】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型2 二项分布中的概率最大问题】 【例2.1】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2.2】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2.1】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2.2】（2024高三下·江苏·专题练习）在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 【题型3 二项分布的期望与方差】 【例3.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【例3.2】（23-24高二下·福建·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3.1】（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 【变式3.2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4.1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·山东聊城·期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） (1)若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? (2)从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； (3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 【变式4.2】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 模块二 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 3．超几何分布的关键点： (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【例5.2】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【变式5.1】（23-24高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·北京西城·期末）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 超几何分布的均值与方差】 【例7.1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【例7.2】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【变式7.2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】 【例8.1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【例8.2】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【变式8.2】（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2．（23-24高二下·广东肇庆·期末）已知随机变量，若方差，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·重庆万州·期中）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为80%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A．30 B．36 C．38 D．32 5．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 7．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·浙江·专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 二、多选题 9．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 10．（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 13．（23-24高二下·天津南开·期末）在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为 ． 14．（23-24高二下·山东枣庄·期末）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 16．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 17．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 18．（24-25高二下·全国·课堂例题）国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响． (1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率； (2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差． 19．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二项分布与超几何分布 【人教A版2019】 模块一 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 二项分布的概率与分布列问题】 【例1.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可. 【解答过程】因为，则， 且，整理可得，解得 或. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【解答过程】由题意知，，解得， 所以 . 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【解答过程】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】运用二项分布知识求解即可 【解答过程】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 【题型2 二项分布中的概率最大问题】 【例2.1】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【解答过程】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【解答过程】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的． 【解答过程】依题意， 由， 即，解得或. 故选：C. 【变式2.2】（2024高三下·江苏·专题练习）在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 【解题思路】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确. 【解答过程】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 因为，所以，， 所以，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即， 即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式， 当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 故选：A. 【题型3 二项分布的期望与方差】 【例3.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量满足：，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【解题思路】由二项分布的概率公式计算可得，再由二项分布的方差公式可得，根据方差性质可得结果. 【解答过程】由题可得，解得， 即． 又随机变量满足，故． 故选：C. 【例3.2】（23-24高二下·福建·期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解. 【解答过程】设事件在每次试验中发生的概率为，则， 因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得， 所以，所以. 故选：D. 【变式3.1】（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．五位二进制数与出现的概率相同 【解题思路】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可. 【解答过程】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响， 故的可能取值有0，1，2，3，4，5， 且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得， 故，故A错误； 因为，所以，故B错误； ，故C错误， 五位二进制数与出现的概率均为，故D正确． 故选：D． 【变式3.2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【解答过程】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4.1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得. 【解答过程】由题意，门将每次扑出点球的概率为：, 若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且， 所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：. 故选：A. 【例4.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【解答过程】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二下·山东聊城·期中）运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） (1)若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? (2)从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； (3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 【解题思路】（1）根据古典概型及条件概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列、期望、方差公式计算即可； （3）根据二项分布的期望、方差公式计算即可. 【解答过程】（1）设“这位大学生选择球类运动”为事件A，则， “这位大学生选择羽毛球”为事件B， 则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则， 故所求的概率为：， 所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是； （2）因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人， 男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， ； （3）由已知可得：， 则：， ， 所以选择羽毛球的人数的期望是，方差是. 【变式4.2】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 【解题思路】（1）由题目所给数据估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率即可； （2）以（1）中的频率作为概率，由独立事件的概率公式计算即可，分析X的可能取值，由二项分布的概率公式计算求出分布列，并计算数学期望和方差即可. 【解答过程】（1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5， 不满意的个数为3，比较满意的个数为17， ∵                 ∴可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2. （2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A， 则.           （ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3， ，，        ，，                则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 由题可知，∴. 模块二 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 3．超几何分布的关键点： (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解题思路】根据超几何分布的定义，判断四个选项，即可得到答案． 【解答过程】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布. ①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误； ③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确； ④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确. 故选：B． 【例5.2】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从超几何分布 D． 【解题思路】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【解答过程】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故A，D错误． 故选：C． 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项. 【解答过程】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球， 而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球， 故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布. 对于③，的可能取值为， 表示取出4个白球； 表示取出3个白球1个黑球； 表示取出2个白球2个黑球； 表示取出1个白球3个黑球； 表示取出4个黑球； 因此服从超几何分布. 由超几何分布的概念知④符合， 故选：B. 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【解答过程】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A. 【例6.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【变式6.1】（23-24高二下·北京西城·期末）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据超几何分布公式计算即可. 【解答过程】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故选：D. 【变式6.2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【解答过程】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 【题型7 超几何分布的均值与方差】 【例7.1】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【解答过程】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 【例7.2】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式7.1】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【变式7.2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【解题思路】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【解答过程】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】 【例8.1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【解题思路】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【解答过程】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D. 【例8.2】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 【变式8.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【解题思路】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得； （2）依题意的可能的取值为，，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望. 【解答过程】（1）设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. （2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 【变式8.2】（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【解答过程】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【解题思路】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【解答过程】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·广东肇庆·期末）已知随机变量，若方差，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求出，再求出的值. 【解答过程】由，得，解得或， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，且求得，再逐项判断. 【解答过程】因为，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，，故D错误； 故选：D. 4．（23-24高二下·重庆万州·期中）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为80%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A．30 B．36 C．38 D．32 【解题思路】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果. 【解答过程】记该同学罚球命中的次数为，则， 所以, 所以该同学得分的数学期望为. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【解答过程】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 6．（23-24高二下·天津河西·期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C. 7．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知，由，可得，然后根据超几何分布的概率公式可求得结果. 【解答过程】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B. 8．（2025高三·浙江·专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【解题思路】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【解答过程】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【解题思路】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答. 【解答过程】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确； ，，， ，，A正确； ，D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】确定，均服从于超几何分布，且，，计算，可判断A，根据判断B，由判断C，根据及超几何分布方差公式判断D正确. 【解答过程】，均服从于超几何分布，且，， ，， 对选项A：，，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 3 ． 【解题思路】设口袋中有白球个（），取得白球个数的可能取值为0，1，2，得到对应的概率，从而求出期望，得到方程，求出，得到答案. 【解答过程】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3. 13．（23-24高二下·天津南开·期末）在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为 ． 【解题思路】先计算答对某道题的概率，由题意，由二项分布的期望公式求解即可. 【解答过程】高二1班答对某道题的概率， 由题意知，的可能取值为， 则，所以. 故答案为：. 14．（23-24高二下·山东枣庄·期末）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大. 【解题思路】利用次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解. 【解答过程】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又为整数， ， 则小球落入8号格子的概率最大. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 【解题思路】（1）根据题意可得的可能取值，且服从两点分布，根据两点分布计算其概率，列出分布列即可； （2）根据题意可得满足二项分布，建立二项分布模型，得出的可能取值，利用二项分布分别计算其概率，列出分布列即可； （3）根据题意可得满足超几何分布，建立超几何分布模型，得出的可能取值，分别计算其概率，列出分布列. 【解答过程】（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， ，则 ． 因此随机变量的分布列为 0 1 （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验， 因此，所以， ，， ． 因此随机变量的分布列为 0 1 2 3 （3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数服从参数10，3，3的超几何分布， 即， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的概率为，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 16．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【解答过程】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 17．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 【解题思路】根据频率和为1求解即可； 根据各段人数可得的可能取值为0，1，2，再求解分布列求解即可. 【解答过程】（1）由，解得． （2）分数在，的人数分别是（人），（人）， 所以的可能取值为0，1，2，其服从参数为，，的超几何分布． 则，， ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 18．（24-25高二下·全国·课堂例题）国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响． (1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率； (2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差． 【解题思路】（1）先求出每个同学成为宣传员的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果； （2）根据二项分布的数学期望和方差公式可求出结果. 【解答过程】（1）每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题， 所以每个同学成为宣传员的概率为， 因为每个人答题相互不受影响， 所以三人是否成为宣传员是相互独立事件， 又因为每个人成为宣传员的概率均为， 所以甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率为． （2）因为每个人成为宣传员的概率均为，故为独立重复试验，又随机变量表示能够成为宣传员的人数， 即3次独立重复试验中发生次的概率，所以随机变量满足二项分布， 所以， ． 19．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【解题思路】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【解答过程】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$