6.4.3.1 余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.1 余弦定理 复习导入 向量的数量积 ①出现平行：） ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） 复习导入 思考：如图，在,两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得,，.请问，你能求出隧道的长度吗？ 问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在，已知：，，，求 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 是 新知探究 问题2：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ b c=？ a ①把几何元素用向量表示： 设，，，那么 ②向量如何转化成数量？ ③向量式化成几何式： 等式两边同时平方 新知探究 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . b c a 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 新知探究 思考：应用余弦定理，是否可以解决已知三角形三边确定三角形的角的问题？ 余弦定理的推论 知 三 求 一 新知探究 思考：当定理中的角为时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 新知探究 思考：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 练习巩固 例6：在中，，，锐角满足，求cos. 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 已知SAS 考点一：已知两边和一角解三角形 练习巩固 练习1-1：在中，若，，，求及. 解：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 考点一：已知两边和一角解三角形 已知SAS 练习巩固 练习1-2：在中，若，，，求角和边. 解：由余弦定理 ， 得， 即 ∴或 当时，由 可得 当时，同理得 考点一：已知两边和一角解三角形 已知SSA 练习巩固 考点一：已知两边和一角解三角形 已知SSA 变式1-1：在中，,, , 则 ___. 3 解：由余弦定理得 , 即,所以 . 练习巩固 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 考点一：已知两边和一角解三角形 练习巩固 练习2：在中，若，，，求. 解：根据余弦定理，得 ∵∴. 又 ∵∴. ∴. ∴，. 已知SSS 考点二：已知三边解三角形 练习巩固 变式2-1：在中，若，求中各角的度数. 解：已知，可令 由余弦定理的推论，得： ∵∴ ∵∴ ∴ 考点二：已知三边解三角形 已知SSS 求第一个角——先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角) 求第二个角——继续用余弦定理的推论求另一个角 求第三个角——最后用三角形内角和定理求出第三个角 练习巩固 考点二：已知三边解三角形 已知三角形的三边求角的基本步骤 练习巩固 练习3：在中，若，试判断的形状. 解：∵ 则， 是直角三角形. 变式3-1：在中，若，，，则是一个. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定 【答案】： 考点三：三角形形状的判断 练习巩固 考点三：三角形形状的判断 变式3-2：在中，已知且试确定的形状. 解：∵∴ 而∴∴∴ 又， ∴ 即∴ 又∴ 故为等边三角形. 练习巩固 考点三：三角形形状的判断 变式3-3：在中，若，试判断的形状. 解：将已知等式变形为 由余弦定理并整理，得： ∴ ∴ ∴是直角三角形. 练习巩固 考点三：三角形形状的判断 判断三角形形状的基本思路和两条思路 基本 思想 判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想 两条 思路 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式 化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式 小结 两边及夹角（SAS） 三边求角（SSS） 知三求一 三角形形状 例1.在中， (2)若，，，求，. 解(2)：由余弦定理，得: =， ∴即 由解得或 练习巩固 练习巩固 例5：在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 已知SAS $$