（同步讲练篇）第三单元 （圆柱的认识、侧面积、表面积及体积·9大考点+易错点）-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第三单元 圆柱与圆锥 （圆柱的认识、侧面积、表面积及体积） 【考点1】圆柱基本特征 3 【考点2】圆柱的展开图 4 【考点3】圆柱展开图应用 5 【考点4】圆柱的侧面积 6 【考点5】圆柱的表面积 8 【考点6】组合体的表面积 9 【考点7】圆柱的体积计算 11 【考点8】圆柱的容积 12 【考点9】立体图形的切拼 14 圆圆和它的神奇肚子 在一片被数学魔法笼罩的森林里，住着一个名叫 “圆圆” 的圆柱体精灵。它有着光滑的曲面身体，上下两个圆滚滚的底面，像戴了两顶小帽子。虽然圆圆长得和其他方方正正的精灵不太一样，但它总能用自己独特的 “大肚子” 解决大家的难题。 一天，森林里要举办 “彩虹音乐节”，需要搭建一座临时舞台。可是，搭建舞台的木材不够了，大家急得团团转。圆圆灵机一动，说：“我的身体能装很多东西！” 它让小动物们把砍下的木材一根一根整齐地叠进自己的 “肚子” 里。原来，圆柱体内的空间像个天然的收纳桶，能装下比长方体更多的木材！大家惊喜极了，很快就用这些木材搭好了舞台。 音乐节当天，天空突然下起暴雨。小动物们慌忙把乐器往山洞里搬，可洞顶漏雨，水滴不断滴在珍贵的小提琴上。圆圆挺身而出，它站在洞口，把底面朝上，像一把倒扣的雨伞。雨水顺着曲面 “哗啦哗啦” 流走了，小提琴得救了！ 夜晚，彩虹升起，大家围着篝火跳舞。圆圆发现小熊闷闷不乐，原来它的蜂蜜罐摔碎了，蜂蜜全洒了。“别急！” 圆圆说着，把自己的底面贴在地上，“我的肚子能装下所有蜂蜜，还能密封保存哦！” 小熊抱着装满蜂蜜的圆圆转圈圈，蜂蜜一滴都没漏出来。 后来，森林里的居民们都说：“圆圆虽然看起来普通，但它的大肚子里藏着无穷的智慧！” 而圆圆总是谦虚地说：“每个形状都有自己的魔法，就像我的曲面能滚动，底面能承重，只要用心发现，就能发挥大作用！” 【考点1】圆柱基本特征 掌握圆柱组成（两个底面是相同圆，侧面为曲面），理解高的概念（两底面间距，有无数条）。常见判断、填空题，如判断“圆柱的高只有一条”的正误。 易错点：对圆柱高的数量理解错误，误认为圆柱只有一条高；对圆柱底面特征判断失误，如不清楚两个底面完全相同。 ： 把一个底面直径是6分米，高是4分米的圆柱体的侧面沿高展开得到一个长方形，这个长方形的长是( )分米，宽是( )分米。 1．一个圆柱的侧面展开是边长为12.56厘米的正方形，这个圆柱高是( )。 2．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 3．圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 【考点2】圆柱的展开图 侧面沿高展开为长方形或正方形（底面周长与高相等时为正方形），明确展开图中长方形的长等于底面圆周长（或），宽等于圆柱的高，常与侧面积计算结合。 易错点：忽略“沿高剪开”前提，认为圆柱侧面展开一定是长方形；对展开图中长与底面周长的对应关系混淆，计算时用错数据。 ： 一个圆柱的底面周长是3分米，高是3分米，侧面是( )，侧面积是( )平方分米。 1． 圆柱侧面沿虚线剪开得到一个平行四边形，这个平行四边形的高是( )cm，圆柱底面半径是( )cm。 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 3．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中( )的位置（填序号）。 【考点3】圆柱展开图应用 通过展开图推导表面积公式，明确圆柱表面积由两个底面圆面积和侧面长方形面积组成。 易错点：推导表面积公式时，忘记加上两个底面面积，只计算侧面积。 ： 用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，卷成一个圆柱形直筒，给这个直筒配一个底面，这个底面至少需要用纸多少平方厘米？（粘合处所用纸张大小忽略不计） 1．如图，淘气想要用一张长方形的纸作侧面围成一个圆柱，请你帮助他从下面选择一组适合的圆作底面。 （1）我选择的是直径为（    ）厘米的圆做底面。 （2）这个圆柱的表面积是多少？ 2．有两张长18.84dm，宽12.56dm的铁皮，一张顺着长（长为高）卷成一个最大的圆柱A，一张顺着宽（宽为高）卷成一个最大的圆柱B，分别给两个圆柱焊上一个底面。 哪个圆柱的表面积大些？大多少平方分米？ 3．如图，一个圆柱的底面半径为r，高为h。小明将圆柱表面展开（图1），得到圆柱表面积不同的计算方法。 （1）你能将这种方法用字母公式补充完整吗？ （2）当r＝4厘米，h＝10厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积S表＝（ ）。 【考点4】圆柱的侧面积 运用公式（或），解决通风管用料、圆柱侧面贴商标纸等侧面积计算问题。 易错点：侧面积公式记混，如误将公式写成；实际问题中，忽略“只求侧面积”的条件，错误加入底面积。 ： 压路机的滚筒是一圆柱体。滚筒直径是1.2米，长1.5米。如果1分钟向前滚动10周，1分钟它前进了多少米？3分钟的压路面积是多少？ 1．为了保护环境、节约资源，张家村倡导使用新能源沼气。每家每户都砌一个圆柱形沼气池，底面直径6米，深2米，在池的周围与地面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 2．一个茶杯（如下图），茶杯的中部有一条装饰带，这条装饰带宽5厘米，这条装饰带的面积是多少平方厘米？ 3．王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【考点5】圆柱的表面积 利用公式，结合实际情境计算（如无盖水桶表面积为“一个底面积+侧面积”）。 易错点：实际问题中，未根据物体特征判断面的数量，如计算无盖水桶表面积时多算一个底面积；单位不统一，计算前未换算单位。 ： 故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如图），器呈圆筒状。直径约3厘米，高约2厘米。外部雕填金地萱花一枚，另一侧有填金《御题萱花诗》一首。如果给这枚扳指配一个圆柱形包装盒，包装盒的表面积至少是多少平方厘米？（包装盒厚度不计，π取3.14） 1．计划制作1个没盖的圆柱形铁皮水桶，高是8分米，底面半径是2分米，制作这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 2．如下图，这是一个圆柱形铁桶分别从正面和上面观察到的图形。制作这个铁桶（有盖）至少需要多少平方分米的铁皮？ 3．只列综合算式或方程，不计算。 一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 【考点6】组合体的表面积 分析组合体构成，处理重合部分面积（如两圆柱拼合，表面积减少重合底面面积）。 易错点：组合体表面积计算时，未准确找出重合面数量，导致多算或漏算；对组合体各部分的面归属判断错误，重复计算重叠区域。 ： 有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 1．如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 2．物体由两个圆柱组成，这两个圆柱的高都是5厘米，底面直径是6厘米与12厘米，求它的表面积。 3．将高都是1米，底面半径分别是1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个立体图形（如下图），这个立体图形的表面积是多少平方米？ 【考点7】圆柱的体积计算 利用公式，已知半径、直径、周长和高求体积，或已知体积反求底面积、高。 易错点：计算体积时，漏算半径的平方；已知直径或周长求体积，未先换算成半径就代入公式；反求底面积或高时，公式应用错误（如误将算成）。 ： 求下面立体图形的体积。 1．求如图的体积。（π取3.14） 2．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 3．求下面图形的体积。（单位：厘米） 【考点8】圆柱的容积 理解容积是内部测量的体积，掌握单位换算（如升立方分米），解决容器装液体的容积问题。 易错点：混淆体积与容积概念，计算容积时用外部数据；单位换算错误，如将立方厘米与升的换算弄错。 ： 一个底面内直径是4厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米，这个瓶子的容积是多少？ 1．有一张长方形铁皮（如图），剪下涂色部分后制成一个圆柱形油桶，这个油桶的容积是多少升？（铁皮厚度不计） 2．北京时间2023年10月26日，“神十七”发射成功。当它升空后，会与“天和核心舱”端口进行对接，形成一条长约10分米，直径约8分米的圆形通道，这是航天员进入空间站的“生命通道”。这个“生命通道”的容积约是多少？ 3．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 【考点9】立体图形的切拼 横切：每切一次增加两个底面面积（如圆柱截成段，切次，增加个底面面积）； 竖切（沿直径切）：增加两个长方形面积（长为圆柱的高，宽为底面直径）； 拼合：多个圆柱拼合体积不变，表面积减少（如两等底圆柱拼合，表面积减少两个底面面积）。 易错点：横切时，切的次数与段数关系弄错（如截成段，误算切次）；竖切后，计算增加面积时，长和宽对应错误（如把半径当宽）；拼合问题中，误将体积改变，或未正确计算减少的表面积。 ： 把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，求原来这根木料的体积。 1．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求。 2．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 3．星星小学美术组把一个长4分米，宽4分米，高6分米的长方体石膏，削成一个最大的圆柱模型，这个圆柱模型的体积是多少立方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第三单元 圆柱与圆锥 （圆柱的认识、侧面积、表面积及体积） 【考点1】圆柱基本特征 3 【考点2】圆柱的展开图 5 【考点3】圆柱展开图应用 6 【考点4】圆柱的侧面积 10 【考点5】圆柱的表面积 12 【考点6】组合体的表面积 14 【考点7】圆柱的体积计算 17 【考点8】圆柱的容积 19 【考点9】立体图形的切拼 22 圆圆和它的神奇肚子 在一片被数学魔法笼罩的森林里，住着一个名叫 “圆圆” 的圆柱体精灵。它有着光滑的曲面身体，上下两个圆滚滚的底面，像戴了两顶小帽子。虽然圆圆长得和其他方方正正的精灵不太一样，但它总能用自己独特的 “大肚子” 解决大家的难题。 一天，森林里要举办 “彩虹音乐节”，需要搭建一座临时舞台。可是，搭建舞台的木材不够了，大家急得团团转。圆圆灵机一动，说：“我的身体能装很多东西！” 它让小动物们把砍下的木材一根一根整齐地叠进自己的 “肚子” 里。原来，圆柱体内的空间像个天然的收纳桶，能装下比长方体更多的木材！大家惊喜极了，很快就用这些木材搭好了舞台。 音乐节当天，天空突然下起暴雨。小动物们慌忙把乐器往山洞里搬，可洞顶漏雨，水滴不断滴在珍贵的小提琴上。圆圆挺身而出，它站在洞口，把底面朝上，像一把倒扣的雨伞。雨水顺着曲面 “哗啦哗啦” 流走了，小提琴得救了！ 夜晚，彩虹升起，大家围着篝火跳舞。圆圆发现小熊闷闷不乐，原来它的蜂蜜罐摔碎了，蜂蜜全洒了。“别急！” 圆圆说着，把自己的底面贴在地上，“我的肚子能装下所有蜂蜜，还能密封保存哦！” 小熊抱着装满蜂蜜的圆圆转圈圈，蜂蜜一滴都没漏出来。 后来，森林里的居民们都说：“圆圆虽然看起来普通，但它的大肚子里藏着无穷的智慧！” 而圆圆总是谦虚地说：“每个形状都有自己的魔法，就像我的曲面能滚动，底面能承重，只要用心发现，就能发挥大作用！” 【考点1】圆柱基本特征 掌握圆柱组成（两个底面是相同圆，侧面为曲面），理解高的概念（两底面间距，有无数条）。常见判断、填空题，如判断“圆柱的高只有一条”的正误。 易错点：对圆柱高的数量理解错误，误认为圆柱只有一条高；对圆柱底面特征判断失误，如不清楚两个底面完全相同。 ： 把一个底面直径是6分米，高是4分米的圆柱体的侧面沿高展开得到一个长方形，这个长方形的长是( )分米，宽是( )分米。 答案： 18.84 4 分析：根据题意可知，展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，据此根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出长方形的长，据此解答。 详解：3.14×6＝18.84（分米） 把一个底面直径是6分米，高是4分米的圆柱体的侧面沿高展开得到一个长方形，这个长方形的长是18.84分米，宽是4分米。 1．一个圆柱的侧面展开是边长为12.56厘米的正方形，这个圆柱高是( )。 答案：12.56厘米/12.56cm 分析：圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 详解：一个圆柱的侧面展开是边长为12.56厘米的正方形，这个圆柱高是（12.56厘米）。 2．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 答案： 曲 底面周长 高 详解： 如图所示：圆柱的侧面是一个曲面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 3．圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 答案： 31.4 12 分析：根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，由此根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，解决问题。 详解：长：3.14×10＝31.4（cm） 宽：12cm 圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是31.4cm，宽是12cm。 【考点2】圆柱的展开图 侧面沿高展开为长方形或正方形（底面周长与高相等时为正方形），明确展开图中长方形的长等于底面圆周长（或），宽等于圆柱的高，常与侧面积计算结合。 易错点：忽略“沿高剪开”前提，认为圆柱侧面展开一定是长方形；对展开图中长与底面周长的对应关系混淆，计算时用错数据。 ： 一个圆柱的底面周长是3分米，高是3分米，侧面是( )，侧面积是( )平方分米。 答案： 长方形 9 分析：圆柱沿高剪开，侧面是长方形，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此解答即可。 详解：侧面积：（平方分米） 所以侧面是长方形，侧面积是9平方分米。 1． 圆柱侧面沿虚线剪开得到一个平行四边形，这个平行四边形的高是( )cm，圆柱底面半径是( )cm。 答案： 10 5 分析：根据圆柱的展开图可知，这个平行四边形的底为圆柱的底面周长，高为圆柱的高，根据圆的周长，求出圆柱的底面半径即可。 详解： （cm） 所以这个平行四边形的高是10cm，圆柱底面半径是5cm。 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 答案：50∶157 分析：根据正方形的特征可知，圆柱的底面周长等于圆柱的高，所以根据圆周长公式：C＝πd，用31.4÷3.14即可求出底面直径，进而写出圆柱底面直径和高的比，再化简即可；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 详解：31.4÷3.14＝10（分米） 10∶31.4 ＝（10×5）∶（31.4×5） ＝50∶157 这个圆柱底面直径和高的比是50∶157。 3．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中( )的位置（填序号）。 答案：③ 分析：如图所示：要求昆虫爬行的距离最短，将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。 详解：据分析，从A点沿最短的距离爬到B点，B点在图（2）中③的位置。 【考点3】圆柱展开图应用 通过展开图推导表面积公式，明确圆柱表面积由两个底面圆面积和侧面长方形面积组成。 易错点：推导表面积公式时，忘记加上两个底面面积，只计算侧面积。 ： 用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，卷成一个圆柱形直筒，给这个直筒配一个底面，这个底面至少需要用纸多少平方厘米？（粘合处所用纸张大小忽略不计） 答案： 12.56平方厘米 分析：将一张长方形的纸卷成一个圆柱，则底面的周长是长方形的宽或者长，底面的面积至少用纸的平方厘米数就是用宽作为底面的周长。根据圆的底面周长公式C＝，得出底面圆的半径，再根据圆的面积公式S＝得出圆的面积。 详解：（厘米） ＝ ＝（平方厘米） 答：这个底面至少需要用纸12.56平方厘米。 1．如图，淘气想要用一张长方形的纸作侧面围成一个圆柱，请你帮助他从下面选择一组适合的圆作底面。 （1）我选择的是直径为（    ）厘米的圆做底面。 （2）这个圆柱的表面积是多少？ 答案：（1）6 （2）244.92平方厘米 分析：（1）圆柱的侧面展开图是个长方形，一条边是圆柱的高，一条边是圆柱的底面圆的周长。若以18.84厘米为底面圆的周长，圆柱的高就是10厘米；若以10厘米为底面圆的周长，圆柱的高就是18.84厘米。据此解答。 （2）根据（1）的选择，应用“圆柱的表面积＝底面面积×2＋侧面积”计算表面积。 详解：（1）以18.84厘米为底面圆的周长，直径为18.84÷3.14＝6（厘米）； 以10厘米为底面圆的周长，直径为10÷3.14≈3.18（厘米）； 结合给出的三个直径，我选择的是直径为6厘米的圆做底面。 （2）3.14×（6÷2）2×2＋18.84×10 ＝3.14×32×2＋188.4 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是244.92平方厘米。 2．有两张长18.84dm，宽12.56dm的铁皮，一张顺着长（长为高）卷成一个最大的圆柱A，一张顺着宽（宽为高）卷成一个最大的圆柱B，分别给两个圆柱焊上一个底面。 哪个圆柱的表面积大些？大多少平方分米？ 答案：圆柱B的表面积大些；大31.4平方分米。 分析：一张顺着长（长为高）卷成一个最大的圆柱A，则得到的圆柱A底面周长为铁皮的宽，高为长；顺着宽（宽为高）卷成一个最大的圆柱B，则得到的圆柱B底面周长为铁皮的长，高为宽。根据圆柱表面积＝铁皮面积＋2个底面圆面积，据此可得出答案。 详解：两个圆柱的侧面积相等，只需比较底面积的大小。 圆柱A的两个底面圆面积为： （平方分米）； 圆柱B的两个底面圆面积为： （平方分米），则圆柱B的表面积大些。 （平方分米） 答：圆柱B的表面积大些；大31.4平方分米。 点睛：本题主要考查的是圆柱的表面积计算，解题的关键是熟练掌握圆柱的表面积公式，进而得出答案。 3．如图，一个圆柱的底面半径为r，高为h。小明将圆柱表面展开（图1），得到圆柱表面积不同的计算方法。 （1）你能将这种方法用字母公式补充完整吗？ （2）当r＝4厘米，h＝10厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积S表＝（ ）。 答案：（1）见详解 （2）351.68平方厘米 分析：（1）由图可知：将圆柱的两个底面的圆切分并拼成近似的长方形，拼成的小长方形的长即为底面圆周长，宽为圆柱的底面半径加上圆柱的高，与侧面展开的长方形拼成的大长方形面积即为圆柱表面积，得出圆柱表面积＝底面周长×（h＋r）； （2）将r＝4厘米，h＝10厘米，代入公式计算出结果即可。 详解：（1）如图： （2）3.14×4×2×（4＋10） ＝3.14×8×14 ＝3.14×112 ＝351.68（平方厘米） 所以，圆柱的表面积是351.68平方厘米。 点睛：本题的解答关键是从图中得到长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的底面半径和高组成的。 【考点4】圆柱的侧面积 运用公式（或），解决通风管用料、圆柱侧面贴商标纸等侧面积计算问题。 易错点：侧面积公式记混，如误将公式写成；实际问题中，忽略“只求侧面积”的条件，错误加入底面积。 ： 压路机的滚筒是一圆柱体。滚筒直径是1.2米，长1.5米。如果1分钟向前滚动10周，1分钟它前进了多少米？3分钟的压路面积是多少？ 答案：37.68米；169.56平方米 分析：根据：C＝πd，计算出圆柱的底面周长，也就是圆柱滚动一周的距离，再乘10得到1分钟前进的距离；根据圆柱的侧面积＝πdh，计算出滚动一周压路的面积，再乘10得到1分钟压路的面积，再乘3得到3分钟压路的面积。 详解：1.2×3.14×10 ＝3.768×10 ＝37.68（米） 1.2×3.14×1.5×10×3 ＝3.768×1.5×10×3 ＝56.52×3 ＝169.56（平方米） 答：1分钟它前进了37.68米；3分钟的压路面积是169.56平方米。 1．为了保护环境、节约资源，张家村倡导使用新能源沼气。每家每户都砌一个圆柱形沼气池，底面直径6米，深2米，在池的周围与地面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 答案：65.94平方米 分析：根据题意，在圆柱形沼气池的周围与地面抹上水泥，那么抹水泥的部分是圆柱的侧面和底面；根据S侧＝πdh，S底＝πr2，分别求出圆柱的侧面积和底面积，再相加，即是抹水泥部分的面积。 详解：3.14×6×2＝37.68（平方米） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 37.68＋28.26＝65.94（平方米） 答：抹水泥部分的面积是65.94平方米。 2．一个茶杯（如下图），茶杯的中部有一条装饰带，这条装饰带宽5厘米，这条装饰带的面积是多少平方厘米？ 答案：94.2平方厘米 分析：求这条装饰带的面积，就是求底面直径为6厘米、高为5厘米的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积S侧＝πdh，代入数据计算即可求解。 详解：3.14×6×5＝94.2（平方厘米） 答：这条装饰带的面积是94.2平方厘米。 3．王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 答案：517平方厘米 分析：根据题意，把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体，拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，表面积多的240平方厘米等于原来两个小圆柱的侧面积和，据此可以求出原来每个小圆柱的侧面积，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 详解：240÷2×3＋3.14×（10÷2）2×2 ＝120×3＋3.14×25×2 ＝360＋78.5×2 ＝360＋157 ＝517（平方厘米） 答：拼成后大圆柱的表面积是517平方厘米。 【考点5】圆柱的表面积 利用公式，结合实际情境计算（如无盖水桶表面积为“一个底面积+侧面积”）。 易错点：实际问题中，未根据物体特征判断面的数量，如计算无盖水桶表面积时多算一个底面积；单位不统一，计算前未换算单位。 ： 故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如图），器呈圆筒状。直径约3厘米，高约2厘米。外部雕填金地萱花一枚，另一侧有填金《御题萱花诗》一首。如果给这枚扳指配一个圆柱形包装盒，包装盒的表面积至少是多少平方厘米？（包装盒厚度不计，π取3.14） 答案：32.97平方厘米 分析：根据圆柱表面积＝底面积×高＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 详解： （平方厘米） 答：包装盒的表面积至少是32.97平方厘米。 1．计划制作1个没盖的圆柱形铁皮水桶，高是8分米，底面半径是2分米，制作这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 答案：113.04平方分米 分析：由于是无盖的，所以制作这个水桶需要铁皮的面积就是这个圆柱形铁皮水桶的底面积和侧面积的和；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 详解：3.14×22＋3.14×2×2×8 ＝3.14×4＋6.28×2×8 ＝12.56＋12.56×8 ＝12.56＋100.48 ＝113.04（平方分米） 答：制作这个水桶至少需要铁皮113.04平方分米。 2．如下图，这是一个圆柱形铁桶分别从正面和上面观察到的图形。制作这个铁桶（有盖）至少需要多少平方分米的铁皮？ 答案：527.52平方分米 分析：根据从正面和上面观察到的图形可知，圆柱的底面半径是6分米，高是8分米。求制作这个铁桶需要的铁皮就是求圆柱的表面积，用侧面积加上两个底面面积进行解答。 详解： （平方分米） 答：制作这个铁桶（有盖）至少需要527.52平方分米的铁皮。 3．只列综合算式或方程，不计算。 一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 答案：3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 分析：涂色部分等于底面半径是8厘米，高是10厘米的圆柱的表面积加上底面半径是4厘米，高是10厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 ＝3.14×64×2＋25.12×2×10＋12.56×2×10 ＝401.92＋502.4＋251.2 ＝1155.52（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1155.52平方厘米。 【考点6】组合体的表面积 分析组合体构成，处理重合部分面积（如两圆柱拼合，表面积减少重合底面面积）。 易错点：组合体表面积计算时，未准确找出重合面数量，导致多算或漏算；对组合体各部分的面归属判断错误，重复计算重叠区域。 ： 有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 答案：533.8平方厘米 分析：这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。 所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。 圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。 详解： ＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7 ＝3.14×16×2＋301.44＋131.88 ＝100.48＋301.44＋131.88 ＝401.92＋131.88 ＝533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 1．如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 答案：114.84平方厘米 分析：已知正方体的棱长是4厘米，挖去的圆柱的深是1厘米，1＜4，没有挖通，那么6个小圆柱的底面可以向外平移，补给正方体的表面，这样这个图形的表面积＝正方体的表面积＋6个小圆柱的侧面积； 根据正方体的表面积公式S＝6a2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，代入数据计算求解。 详解：4×4×6＋2×3.14×0.5×1×6 ＝96＋18.84 ＝114.84（平方厘米） 答：这个图形的表面积是114.84平方厘米。 2．物体由两个圆柱组成，这两个圆柱的高都是5厘米，底面直径是6厘米与12厘米，求它的表面积。 答案：508.68平方厘米 分析：观察图形可知，这个组合体的表面积等于底面直径是12厘米，高是5厘米的圆柱的表面积，再加上底面直径是6厘米，高是5厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，以及圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（12÷2）2×2＋3.14×12×5＋3.14×6×5 ＝3.14×62×2＋37.68×5＋18.84×5 ＝3.14×36×2＋188.4＋94.2 ＝113.04×2＋188.4＋94.2 ＝226.08＋188.4＋94.2 ＝414.48＋94.2 ＝508.68（平方厘米） 答：它的表面积是508.68平方厘米。 3．将高都是1米，底面半径分别是1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个立体图形（如下图），这个立体图形的表面积是多少平方米？ 答案：32.97平方米 分析：根据题意得：立体图形由三个圆柱叠加组成，立体图形表面积＝三个圆柱的侧面积之和＋最下面圆柱的底面积×2，根据圆柱侧面积＝，底面积＝。据此计算可得出答案。 详解：最下面的圆柱侧面积为：3.14×1.5×2×1＝9.42（平方米） 中间的圆柱侧面积为：3.14×1×2×1＝6.28（平方米） 最上面的圆柱侧面积为：3.14×0.5×2×1＝3.14（平方米） 侧面积之和为：9.42＋6.28＋3.14＝18.84（平方米） 最下面圆柱的2个底面积为：3.14×1.52×2＝14.13（平方米） 则立体图形表面积为：18.84＋14.13＝32.97（平方米） 答：这个立体图形的表面积是32.97平方米。 【考点7】圆柱的体积计算 利用公式，已知半径、直径、周长和高求体积，或已知体积反求底面积、高。 易错点：计算体积时，漏算半径的平方；已知直径或周长求体积，未先换算成半径就代入公式；反求底面积或高时，公式应用错误（如误将算成）。 ： 求下面立体图形的体积。 答案：1392.5cm3 分析：观察图形可知，立体图形的体积＝棱长是10cm的正方体的体积＋半径是（10÷2）cm，高是10cm的圆柱的体积的一半，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积公式：体积＝π×半径2×高，代入数据，即可解答。 详解：10×10×10＋3.14×（10÷2）2×10÷2 ＝10×10×10＋3.14×52×10÷2 ＝100×10＋3.14×25×10÷2 ＝1000＋78.5×10÷2 ＝1000＋785÷2 ＝1000＋392.5 ＝1392.5（cm3） 立体图形的体积是1392.5cm3。 1．求如图的体积。（π取3.14） 答案：125.6 分析：2个完全一样的原图立体图形可以拼成一个高为（12＋8）、底面直径是4的圆柱体，所以此图的体积是拼成的圆柱体积的一半；利用圆柱体的体积公式计算出体积即可。 详解： 它的体积是125.6。 2．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 答案：214.2立方厘米 分析：观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 详解：3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 3．求下面图形的体积。（单位：厘米） 答案：66180立方厘米 分析：由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据及圆柱的体积公式代入数据解答。 详解： （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 【考点8】圆柱的容积 理解容积是内部测量的体积，掌握单位换算（如升立方分米），解决容器装液体的容积问题。 易错点：混淆体积与容积概念，计算容积时用外部数据；单位换算错误，如将立方厘米与升的换算弄错。 ： 一个底面内直径是4厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18厘米，这个瓶子的容积是多少？ 答案：314立方厘米 分析：这个瓶子的容积＝底面直径是4厘米，高是7厘米的圆柱的容积＋底面直径是4厘米，高是18厘米的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（4÷2）2×7＋3.14×（4÷2）2×18 ＝3.14×22×7＋3.14×22×18 ＝3.14×4×7＋3.14×4×18 ＝12.56×7＋12.56×18 ＝87.92＋226.08 ＝314（立方厘米） 答：这个瓶子的容积是314立方厘米。 1．有一张长方形铁皮（如图），剪下涂色部分后制成一个圆柱形油桶，这个油桶的容积是多少升？（铁皮厚度不计） 答案：141.3升 分析：根据题意，把一张长方形铁皮剪下制成一个圆柱形油桶，从图中可知，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高与底面直径之和； 先根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆柱的底面直径；再用长方形的宽减去圆柱的底面直径，即是圆柱的高； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出这个油桶的容积。注意单位的换算：1立方分米＝1升。 详解：圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米） 圆柱的高：11－6＝5（分米） 圆柱的容积： 3.14×（6÷2）2×5 ＝3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（立方分米） 141.3立方分米＝141.3升 答：这个油桶的容积是141.3升。 2．北京时间2023年10月26日，“神十七”发射成功。当它升空后，会与“天和核心舱”端口进行对接，形成一条长约10分米，直径约8分米的圆形通道，这是航天员进入空间站的“生命通道”。这个“生命通道”的容积约是多少？ 答案：502.4立方分米 分析：根据题意，这个“生命通道”是一个底面直径是8分米，高是10分米的圆柱，根据圆柱的体积公式：，代入数据计算即可。 详解：3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方分米） 答：这个“生命通道”的容积约是502.4立方分米。 3．为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 答案：1.94升 分析：根据题意，作图如下： 先将长方体倒卧在圆柱形容器内，注入防锈油，当容器内防锈油的高度是10厘米时，就能完全将零件浸没，此时防锈油的体积＝10厘米高的圆柱体积－长方体的体积。根据圆柱的体积：V＝πr2h，长方体的体积：V＝abh，代入数据，分别求出体积，再相减即可。 详解：3.14×（20÷2）2×10－10×10×12 ＝3.14×100×10－1200 ＝3140－1200 ＝1940（立方厘米） 1940立方厘米＝1940毫升＝1.94升 答：容器内至少需要注入1.94升防锈沺才能完全将零件浸没。 【考点9】立体图形的切拼 横切：每切一次增加两个底面面积（如圆柱截成段，切次，增加个底面面积）； 竖切（沿直径切）：增加两个长方形面积（长为圆柱的高，宽为底面直径）； 拼合：多个圆柱拼合体积不变，表面积减少（如两等底圆柱拼合，表面积减少两个底面面积）。 易错点：横切时，切的次数与段数关系弄错（如截成段，误算切次）；竖切后，计算增加面积时，长和宽对应错误（如把半径当宽）；拼合问题中，误将体积改变，或未正确计算减少的表面积。 ： 把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，求原来这根木料的体积。 答案：1507.2立方分米 分析：根据题意，把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，那么增加的表面积是圆柱的2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来这根木料的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 详解：6米＝60分米 50.24÷2＝25.12（平方分米） 25.12×60＝1507.2（立方分米） 答：原来这根木料的体积是1507.2立方分米。 1．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求。 答案：560立方厘米 分析：将原来的圆柱形截成三个相同的小圆柱，则增加了4个底面的面积为56平方厘米，则圆柱的底面积为14平方厘米。再根据圆柱形钢材按1∶2∶3的比例截成三段，得出最长的一段占总体积的，最短的一段占总体积的，根据圆柱的体积＝底面积×高得出圆柱的体积，进而求出最长的一段的体积与最短的一段的体积，再据最长的一段体积与最短的一段体积，即可求出最长的一段与最短的一段的体积，进而相减即可得解。 详解：56÷4＝14（平方厘米） 1.2米＝120厘米 120×14＝1680（立方厘米） 1680×＝1680×＝840（立方厘米） 1680×＝1680×＝280（立方厘米） 840－280＝560（立方厘米） 答：这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多560立方厘米，即x－y的值是560立方厘米。 2．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 答案：62.8立方厘米 分析：长方体表面积比原来圆柱表面积增加20平方厘米，20平方厘米实际上是长方体的左右两个侧面的面积，沿直径把圆柱切开拼成一个体积相等的长方体后，这个长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。用这个长方体的一个侧面面积乘这个长方体的长就可以求出它的体积． 详解：20÷2＝10（平方厘米） 4×3.14÷2＝6.28（平方厘米） 6.28×10＝62.8（立方厘米） 答：这个长方体的体积是62.8立方厘米。 3．星星小学美术组把一个长4分米，宽4分米，高6分米的长方体石膏，削成一个最大的圆柱模型，这个圆柱模型的体积是多少立方分米？ 答案：75.36立方分米 分析：长方体的长4分米，宽4分米，所以长方体的底面是正方形，因此要将长方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径等于长方体的底面边长，圆柱的高等于长方体的高，根据圆柱的体积公式：V=πr2h，把数据代入公式解答即可。 详解：半径：4÷2＝2（分米） 圆柱体积为： 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方分米） 答：这个圆柱模型的最大体积是75.36立方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$