（专项突破篇）第四单元·专项6 面积的变化-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(苏教版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项6 面积的变化 一、仔细想，认真填。 1．把平行四边形的底缩小到原来的，高扩大到原来的6倍，平行四边形的面积就是原来的( )。 2．如果一幅建筑工地施工图的比例尺是1∶1000，那么这幅施工图的图上面积与实际面积的比是( )∶( )。 3．结合王浩家的平面图完成下列问题。（测量的数据取整厘米数） (1)平面图中王浩的卧室长( )厘米，宽( )厘米。那么王浩的卧室实际长( )米，宽( )米，面积是( )平方米。 (2)王浩家的总面积是( )平方米。 (3)王浩在本子上画自己卧室的平面图，他用8厘米表示自己卧室的宽，那么图上1厘米表示实际距离( )厘米，他画图的比例尺是( )。 4．把正方形按1∶4的比缩小后，正方形的边长是原来的( )；把一个长方形按3∶1的比放大后，原来长方形的面积是放大后长方形面积的( )。 5．如下图，按这样的规律，第四个图形中有( )个白色三角形。 6．一个平行四边形，底是8分米，高是2分米，按2∶1的比放大后，面积是( )平方分米。 7．我国《国旗法》规定，国旗的长和宽的比是。如果把一面长9厘米、宽6厘米的国旗按的比放大，那么放大后国旗的周长是( )厘米，国旗的面积是( )平方厘米。 8．一个长方形长15厘米，宽12厘米，把这个长方形按1∶3的比缩小，缩小后长方形的面积是( )平方厘米，缩小后与缩小前长方形的面积比是( )。 9．把一个正方形按2∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形边长的比是( )，放大后的正方形的面积是原来正方形面积的( )倍；如果把一个正方形按1∶3的比缩小，缩小后的正方形面积是原来正方形面积的( )（用分数表示）。 10．三角形底9厘米，高6厘米，把这个三角形按1∶3的比例缩小后，三角形的底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )。 二、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 11．在比例尺是1∶200的图纸上，甲、乙两个长方形的长的比是2∶3，宽的比也是2∶3，那么它们面积的比是（    ）。 A．1∶200 B．4∶9 C．2∶3 D．2∶600 12．下列说法正确的有（    ）句。 ①把一个三角形按的比缩小，现在面积与原来面积的比是。 ②平移和旋转都只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。 ③一枚骰子6个面的点数分别是，随意投掷一次，点数是偶数朝上的可能性是。 ④若、为大于0的自然数），则和的最大公因数是。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．一个长4厘米，宽3厘米的长方形，按放大，得到的长方形的面积是（    ）平方厘米。 A．36 B．108 C．42 14．如果一块长方形草地长20米、宽16米，那么这块草地面积的万分之一大约相当于（   ）的面积． A．一本书封面 B．一块橡皮 C．一张课桌面 D．一间教室 15．如下图，将长方形ABCD按2:1的比放大为AEFG，下面说法错误的是（  ）． A．对应边放大到原来的2倍 B．周长放大到原来的2倍 C．面积放大到原来的2倍 三、我会操作。 16．按要求完成下列问题。 （1）A点位置用数对表示是（    ），B点位置用数对表示是（    ）。 （2）把三角形ABC绕顶点B逆时针旋转90º，在图中画出旋转后的图形。 （3）按2∶1的比画出三角形ABC放大后的图形。原来三角形的面积是放大后的（    ）。 17．按1∶2的比画出三角形缩小后的图，再按2∶1的比画出平行四边形放大后的图形。 18．(1)将图中三角形ABC向左平移8格，画出平移后的图形． （2）将平移后的图形按1:2缩小,画出缩小后的图形． (3)将缩小后的图形围绕B点顺时针旋转90°,画出旋转后的图形． 四、解决问题。 19．下图是一个圆形花坛的平面图，先想办法量出有关数据，再算出圆形花坛的实际周长和实际面积。（比例尺为1∶1000） 20．在一幅比例尺是的校园平面图上，学校操场如下图，量一量。 （1）算一算长方形操场的图上面积和实际面积。 （2）写出图上面积与实际面积的比，并与比例尺进行比较，你发现了什么？ 21．在比例尺是1∶100的平面图上，量得一个平行四边形花坛的底是9厘米，高是8厘米，这个花坛的实际占地面积是多少平方米？ 22．画一画，填一填。    （1）将图形①绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，B点的位置用数对表示是（    ）。 （2）画一个与图①面积相等的平行四边形。 （3）以点O为圆心，按2∶1的比画出图②放大后的图形。放大后的圆的面积是原来的（    ）倍，这个组合图形有（    ）条对称轴。 23．填一填，画一画。    （1）图中（    ）号图是①号长方形缩小后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比缩小的。 （2）按1∶3的比画出图形④缩小后的图形。 （3）按2∶1的比画出平行四边形放大后的图形。 24．把一个长方体按1∶3的比缩小，缩小后长方体的体积与原来长方体的体积相差52立方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 25．将一个圆形图案按2∶1的比打印出来后，它的面积增加了9.42平方厘米，原来圆形图案的面积是多少平方厘米？ 26．下图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把图中的平行四边形按2∶1的比放大，请在方格图中画出放大后的图形。 （2）放大后平行四边形的面积与原来面积的比是（    ）∶（    ）。 （3）梯形②是梯形①绕点A按逆时针方向旋转90度后得到的，请在方格图中画出梯形①，并用数对表示出梯形①中点A的位置（    ）。 参考答案 1．4倍 分析：平行四边形的面积＝底×高。在乘法算式中，一个因数扩大原来a倍，另一个因数扩大到原来的b倍，那么它们的积就扩大到原来的（a×b）倍，据此解答。 详解：平行四边形的面积＝底×高； 由分析可知： 底缩小、高扩大后平行四边形的面积＝底××高×6＝底×高×4； 所以，把平行四边形的底缩小到原来的，高扩大到原来的6倍，平行四边形的面积就是原来的4倍。 2． 1 1000000 分析：假设一幅长方形建筑工地施工图的长是4厘米，宽是3厘米，根据图上距离÷比例尺＝实际距离，进行换算，再根据长方形面积＝长×宽，分别计算出图上面积和实际面积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出图上面积与实际面积的比，化简即可。 详解：假设一幅长方形建筑工地施工图的长是4厘米，宽是3厘米。 4÷＝4×1000＝4000（厘米） 3÷＝3×1000＝3000（厘米） （4×3）∶（4000×3000） ＝12∶12000000 ＝（12÷12）∶（12000000÷12） ＝1∶1000000 这幅施工图的图上面积与实际面积的比是1∶1000000。 3．(1) 3 2 6 4 24 (2)96 (3) 50 1∶50 分析：（1）先量出图中王浩的卧室长和宽，然后根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，分别求出王浩的卧室的实际长和宽，并根据进率“1米＝100厘米”换算单位，最后根据长方形的面积＝长×宽，求出王浩卧室的实际面积。 （2）先量出图中王浩家的长和宽，然后根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，分别求出王浩家的实际长和宽，并根据进率“1米＝100厘米”换算单位，最后根据长方形的面积＝长×宽，求出王浩家的实际面积。 （3）由前面的计算可知，王浩卧室实际的宽是4米，他用8厘米表示自己卧室的宽，即用8厘米表示实际距离4米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出他画图的比例尺，由此得出图上1厘米表示的实际距离。 详解：（1）图中王浩的卧室长3厘米，宽2厘米。（以实际测量为准） 3÷ ＝3×200 ＝600（厘米） 600厘米＝6米 2÷ ＝2×200 ＝400（厘米） 400厘米＝4米 面积：6×4＝24（平方米） 平面图中王浩的卧室长3厘米，宽2厘米。那么王浩的卧室实际长6米，宽4米，面积是24平方米。 （2）图上王浩家的长是6厘米，宽是4厘米。（以实际测量为准） 6÷ ＝6×200 ＝1200（厘米） 1200厘米＝12米 4÷ ＝4×200 ＝800（厘米） 800厘米＝8米 面积：12×8＝96（平方米） 王浩家的总面积是96平方米。 （3）8厘米∶4米 ＝8厘米∶（4×100）厘米 ＝8∶400 ＝（8÷8）∶（400÷8） ＝1∶50 王浩在本子上画自己卧室的平面图，他用8厘米表示自己卧室的宽，那么图上1厘米表示实际距离50厘米，他画图的比例尺是1∶50。 4． 分析：（1）把图形按1∶n的比缩小，则图形的各边都缩小到原来的； （2）根据长方形的面积＝长×宽，以及积的变化规律，可知长方形按3∶1的比放大，则长方形的长、宽都扩大到原来的3倍，所以放大后长方形与原来的面积比是32∶12，据此求出原来长方形的面积是放大后长方形面积的几分之几。 详解：（1）1∶4 ＝1÷4 ＝ 把正方形按1∶4的比缩小后，正方形的边长是原来的； （2）32∶12＝9∶1 1∶9 ＝1÷9 ＝ 把一个长方形按3∶1的比放大后，原来长方形的面积是放大后长方形面积的。 5．40 分析：看图可知，第一个图形有1个白色三角形；第二个图形有4个白色三角形，4＝1×3＋1；第三个图形有13个白色三角形，13＝4×3＋1；由此可知，后一个图形白色三角形的个数＝前一个图形白色三角形的个数×3＋1，据此计算出第四个图形白色三角形的个数。 详解：13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（个） 第四个图形中有40个白色三角形。 6．64 分析：图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。则原来的平行四边形的底是8分米，按2∶1的比放大是16分米，高是2分米，按2∶1的比放大是4分米，平行四边形的面积＝底×高得出平行四边形的面积。 详解：8×2＝16（分米） 2×2＝4（分米） 16×4＝64（平方分米） 则面积是64平方分米。 7． 150 1350 分析：根据图形放大的方法，先分别求出放大5倍后，国旗的长、宽各是多少厘米，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 详解：9×5＝45（厘米） 6×5＝30（厘米） （45＋30）×2 ＝75×2 ＝150（厘米） 45×30＝1350（平方厘米） 放大后国旗的周长是150厘米，面积是1350平方厘米。 点睛：此题考查的目的是理解掌握图形放大的方法及应用，长方形的周长公式、面积公式及应用。 8． 20 1∶9 分析：这个长方形按1∶3的比缩小就是将长方形的长和宽均缩小到原来的，由此得出缩小后的长与宽，再代入长方形的面积公式：S＝ab计算即可求出缩小后的面积；将数据代入长方形的面积公式：S＝ab计算出原长方形的面积，写出缩小后与缩小前长方形的面积比化简即可。 详解：15×＝5（厘米） 12×＝4（厘米） 缩小后的面积：5×4＝20（平方厘米） 缩小前的面积：15×12＝180（平方厘米） 缩小后的面积∶缩小前的面积＝20∶180＝1∶9 即缩小后长方形的面积是20平方厘米，缩小后与缩小前长方形的面积比是1∶9。 点睛：本题主要考查图形的放大与缩小，“按1∶3的比缩小”求出缩小后的长与宽是解题的关键。 9． 2∶1 4 分析：由于按2∶1的比放大，那么正方形的边长扩大到原来的2倍，则放大后的正方形边长与原来的正方形边长的比就是2∶1，根据正方形的面积公式：边长×边长，由此即可知道正方形的面积相当于扩大到原来的平方倍，即2×2＝4倍，面积比等于边长的平方比，即面积比是4∶1；如果把正方形按1∶3的比缩小，那么边长相当于缩小到原来的，则缩小后的面积是原来面积的：×＝。 详解：由分析可知： 22∶12＝4∶1 2×2＝4 ×＝ 把一个正方形按2∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形边长的比是2∶1，放大后的正方形的面积是原来正方形面积的4倍；如果把一个正方形按1∶3的比缩小，缩小后的正方形面积是原来正方形面积的。 点睛：本题主要考查图形的放大和缩小，同时要清楚正方形的面积公式是解题的关键。 10． 3 2 3平方厘米/3cm2 分析：三角形按1∶3的比例缩小，也就是将三角形的底和高缩小到原来的，已知原来的三角形底9厘米，高6厘米，分别用9÷3、6÷3即可求出缩小后的底和高，然后根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答。 详解：9÷3＝3（厘米） 6÷3＝2（厘米） 3×2÷2＝3（平方厘米） 三角形的底是3厘米，高是2厘米，面积是3平方厘米。 点睛：本题考查了图形的缩小以及三角形面积公式的应用。 11．B 分析：甲、乙两个长方形的长的比是2∶3，宽的比也是2∶3，根据长方形面积＝长×宽，（长的比的前项×宽的比的前项）∶（长的比的后项×宽的比的后项）＝它们的面积比，据此分析。 详解：（2×2）∶（3×3）＝4∶9 它们面积的比是4∶9。 故答案为：B 12．C 分析：①把一个三角形按的比缩小，现在面积与原来面积的比是； ②平移和旋转后，图形的形状和大小都不改变，只是位置发生了变化； ③根据题意可知，随意投掷一次骰子，有1、2、3、4、5、6朝上共6种可能，找出中偶数的个数，求出偶数朝上的可能性，再作判断； ④如果两个数中，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。 详解：①把一个三角形按的比缩小，现在面积与原来面积的比是，原题说法正确； ②平移和旋转都只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，原题说法正确； ③根据题意可知，随意投掷一次骰子，有1、2、3、4、5、6朝上共6种可能，其中偶数有2、4、6三种，所以偶数朝上的可能性是，原题说法正确； ④根据题意可知，是的倍数，所以和的最大公因数是，原题说法错误。 综上所述，说法正确的有①②③共3句； 故答案为：C 13．B 分析：根据图形放大与缩小的意义，长4厘米宽3厘米的长方形按3：1放大后，长是（4×3）厘米，宽是（3×3）厘米。根据长方形的面积计算公式：S＝ab，即可求出放大后长方形的面积。 详解：放大后长方形的面积：4×3×（3×3） ＝12×9 ＝108（平方厘米） 故答案为：B 点睛：此题考查面积的变化，也可以依据规律解答。如果把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是n2∶1。 14．A 15．C 16．（1）（4，7）；（4，4） （2）见详解 （3）图见详解； 分析：（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各点均绕点B按相同的方向旋转相同的度数，即可画出三角形ABC绕点B逆时针旋转90°的图形。 （3）三角形的底为2格，高为3格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按照2∶1放大后的三角形的底是2×2＝4（格），高是3×2＝6（格）的直角三角形，据此画出三角形即；根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出原来三角形的面积和放大后三角形的面积，再用原来三角形的面积除以放大后三角形的面积。 详解：（1）A点位置用数对表示是（4，7），B点位置用数对表示是（4，4）。 （2）（3）如图 2×2＝4（格） 3×2＝6（格） （3）2×3÷2＝3 4×6÷2＝12 3÷12＝ 所以原来三角形的面积是放大后三角形的面积的 17． 分析：根据画放大或缩小后图形的方法：（1）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的1/n，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n；（2）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 详解： 点睛：此题主要考查学生按比例对图形缩放画图的能力。 18． (1）见红色线图； （2）可见蓝色线图； （3）黑色线图． 详解：（1）见红色线图； （2）原三角形的底是6，高是4，按1:2缩小后分别是 6÷2=3  4÷2=2 据此画图即可见蓝色线图； （3）绕B点顺时针旋转90°见黑色线图． 19．图上直径3厘米；实际周长94.2米；实际面积706.5平方米 分析：圆是轴对称图形，其对称轴所在的位置即为这个圆形的直径，再根据长度测量方法，测量出图上直径，再根据图上距离÷比例尺＝实际距离，换算出实际直径，圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 详解：测量可得，图上圆的直径是3厘米。 3÷＝3×1000＝3000（厘米）＝30（米） 3.14×30＝94.2（米） 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：圆形花坛的实际周长和实际面积分别是94.2米、706.5平方米。 20．（1）12平方厘米；19200平方米 （2）比例尺的前、后项分别平方后等于面积的比 分析：（1）根据长度测量方法，量出图上长和宽，观察线段比例尺，图上1厘米表示实际40米，图上厘米数×图上1厘米表示实际米数＝实际米数，据此进行换算，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出图上面积和实际面积； （2）两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出图上面积与实际面积的比，并化简，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，将线段比例尺转化成数值比例尺，再将图上面积与实际面积的比与比例尺进行比较，写出发现即可。 详解：（1）测量可得，长4厘米，宽3厘米。 4×40＝160（米） 3×40＝120（米） 4×3＝12（平方厘米） 160×120＝19200（平方米） 答：长方形操场的图上面积和实际面积分别是12平方厘米、19200平方米。 （2）12平方厘米∶19200平方米 ＝12平方厘米∶192000000平方厘米 ＝（12÷12）∶（192000000÷12） ＝1∶16000000 1厘米∶40米＝1厘米∶4000厘米＝1∶4000 12∶40002＝1∶16000000 答：比例尺的前、后项分别平方后等于面积的比。 21．72平方米 分析：图上距离和比例尺已知，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求得平行四边行的底和高的实际长度。再根据平行四边形面积＝底×高，求得实际占地面积。 详解：底：9÷＝＝900（厘米）＝9米 高：8÷＝＝800（厘米）＝8米 实际占地面积：9×8＝72（平方米） 答：这个花坛的实际占地面积是72平方米。 22．（1）见详解；（5，5）；（2）见详解；（3）见详解；4；无数 分析：（1）根据旋转的特征，图形①绕A点逆时针旋转90°，点A的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行，据此标出旋转后的B点。 （2）已知三角形原来的高是2格，底是4格，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，用4×2÷2即可求出图①的面积，也就是4；再平行四边形面积公式：S＝ah，将4拆分成2个数相乘，这个两个数分别当作平行四边形的底和高； （3）按2∶1的比例画出图形②放大后的图形，就是把原圆形的半径分别扩大到原来的2倍，已知图②的半径是1格，则放大后的半径是（1×2），据此画同心圆，根据轴对称图形的特征可知，这个组合图形有无数条对称轴。再根据圆面积公式，分别求出放大前后圆的面积，进而求出它们的关系。 详解：（1）将图形①绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，如下图。旋转后，B点的位置用数对表示是（5，5）。 （2）已知三角形原来的高是2格，底是4格， 4×2÷2＝4 4＝2×2 画一个底是2格、高也是2格的平行四边形，如图；（答案不唯一） （3）已知图②的半径是1格， 1×2＝2 （22×π）÷（12×π） ＝（4×π）÷（1×π） ＝4π÷π ＝4 放大后的圆的面积是原来的4倍，这个组合图形有无数条对称轴。 如图：    点睛：本题是考查数对表示位置，图形的放大，图形的旋转，轴对称图形的认识，平行四边形面积公式、圆面积公式、三角形面积公式的灵活应用等，要熟练掌握每个知识点。 23．（1）③；1；2；（2）见详解；（3）见详解 分析：（1）图形的缩小就是将原来的图形按一定的比例缩小，形状不变，图形变小；要找几号图形是①号图形缩小后的图形，先找出比①号长方形小的图形，看看长和宽缩小的比例是否一样，据此即可确定出要找的图形； （2）图形④按1∶3缩小，也就是将长和宽缩小到原来的，原来的长有6格，宽有3格，分别用6÷3、3÷3即可求出缩小后的长和宽，据此画图； （3）平行四边形按2∶1放大，也就是将底和高扩大到原来的2倍，已知原来的底有3格，高有2格，分别用3×2、2×2即可求出扩大后的底和高，据此画图。 详解：（1）比①号图形小的长方形有2个，②和③，②的宽没有发生变化，不符合，所以③号符合，③号的宽有1格，①号的宽有2格，所以图中③号图是①号长方形缩小后的图形，它是按1∶2的比缩小的。 （2）原来的长有6格，宽有3格， 6÷3＝2（格） 3÷3＝1（格） （3）已知原来的底有3格，高有2格， 3×2＝6（格） 2×2＝4（格） 如图：    点睛：本题考查了图形的放大和缩小的方法，同时要注意图形的放大或缩小形状不变。 24．54立方厘米 分析：根据长方体的体积公式：长×宽×高，把长方体按1∶3的比缩小，那么体积会按照1∶33进行缩小，即原来的长方体的体积是缩小后长方体的体积的27倍，用52÷（27－1）由此即可求出缩小后的体积，再乘27即可求解。 详解：52÷（3×3×3－1） ＝52÷（27－1） ＝52÷26 ＝2（立方厘米） 2×27＝54（立方厘米） 答：原来长方体的体积是54立方厘米。 点睛：本题主要考查图形的放大和缩小以及长方体的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。 25．3.14平方厘米 分析：由于按2∶1的比打印出来，那么圆的直径相当于扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的2×2＝4倍，比原来增加了3倍，即9.42÷3即可求出原来的面积。 详解：2×2＝4 9.42÷（4－1） ＝9.42÷3 ＝3.14（平方厘米） 答：原来圆形图案的面积是3.14平方厘米。 点睛：本题主要考查圆的面积公式以及图形的放大和缩小，熟练掌握圆的面积并灵活运用。 26．（1）图见详解；         （2）4；1 （3）图见详解；（7，3） 分析：（1）平行四边形的底边长是3厘米，高为1厘米，按2∶1的比放大后，底边长是6厘米，高为2厘米，据此完成作图； （2）计算出放大前和放大后的平行四边形面积，比较即可； （3）按旋转的特征，绕点A旋转，点A不动，其它边长逆时针旋转90度，画出梯形①，观察点A在表格里的位置，用数对表示出来。 详解：（1）如图3所示； （2）（6×2）∶（3×1）＝12∶3＝4∶1； （3）如图1所示；点A的位置用数对表示为（7，3）。 点睛：此题的解题关键是掌握图形的放大与缩小、图形的旋转等特点，根据题干中的数据，完成作图，并用数对标注位置。 学科网（北京）股份有限公司 $$