2025届高考物理一轮复习讲义：v-I图解决动量问题的一些小方法

1 v－I 图解决动量问题的一些小总结(只研究一维) 准备知识： 回顾动量定理：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量，其数学表达式 I＝mv－mv0 对于此定理我们讲解的时候更多是停在公式的直接使用层面，如果我们往后多想一步，会得到一些好 玩的东西，比如若以 I 为自变量，v为因变量，上式变为 v＝ 1 m I＋v0 该方程研究区间为相互作用的过程且为一次函数关系，I 取大小作出其图像，通过函数表达式可知图像 斜率大小为 1 m ，那么其与横轴围成的面积又是什么呢？ 根据微元法其面积表达式为 vI＝vFt=Fx 外力做的功即为动能变化量(图 1(a)),图线靠近 I 轴表示动能减少，远离 I 轴表示动能增加。 对于相互作用的两个物体来说，斜率的大小可以反映其质量的大小，也可以证明图线所夹面积即为系 统动能的变化量(图 1(c))。 主题开启 为方便描述一些小规律个人取了一些名词，不能较真是否专业，只为描述方便。且所有 I 均用大小。 类型 1，非穿越型(重点研究) 模型特点：整个相互作用的过程包含共速这一瞬间，对于系统来说Ek 损≥0。先约定两个名字， 转化区：从接触到共速过程，两图线所夹面积对应为系统动能转化量，简称转化量。该区域横轴长度 为 I1。 这里重点说明下，该转化量大小表达式是固定的，根据数学关系 － 1 m1 I1＋v1＝ 1 m2 I1＋v2 可得I1＝ v1－v2 k1＋k2 ＝ m1m2(v1－v2) m1＋m2 ，则可知其表达式 m1m2 2(m1＋m2) (v1－v2)2 ，v1－v2是矢量差； 恢复区：从共速到分离过程；两图线所夹面积对应为系统动能恢复量，简称恢复量。该区域横轴长度 为 I2。转化量与恢复量的差值就是系统的动能损失， 2 以通过弹簧发生作用的两个物体为例，其余非穿越型的拓展只是取恢复区一部分。 弹性碰撞来说转化量要等于恢复量，则 I1＝I2，v2′－v1′＝v1－v2 非弹性碰撞转化量一定大于恢复量，则 I1＞I2， v1－v2≥v2′－v1′ 1.0 版结论：碰撞前后的速度关系 0≤v2′－v1′≤ v1－v2或者0≤ p2′ m2 － p1′ m1 ≤ p1 m1 － p2 m2 (考察最多) 直接上两个例题： 【例 1】质量相等的 A、B 两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A 球的速度 是 6 m/s，B 球的速度是－2 m/s，不久 A、B 两球发生了对心碰撞．对于该碰撞之后的 A、B 两球的速度可能 值，某实验小组的同学们做了很多种猜测，下面的猜测结果一定无法实现的是( ) A．v′A＝－2 m/s，v′B＝6 m/s B．v′A＝2 m/s，v′B＝2 m/s C．v′A＝1 m/s，v′B＝3 m/s D．v′A＝－3 m/s，v′B＝7 m/s 解析：因为已经发生碰撞：我们直接得结论：即：0＜v′B－v′A≤vA－vB 带入数字直接可得 D 不符合。 【例 2】甲、乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是 p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为 10 kg·m/s，则两球质量 m1与 m2间的关系可能是 A．m1＝m2 B．2m1＝m2 C．4m1＝m2 D．6m1＝m2 解析：根据0≤ p2′ m2 － p1′ m1 ≤ p1 m1 － p2 m2 可以求得： 5 3 ≤ m1 m2 ≤ 5 1 3 1.1 版结论：碰撞速度各自速度范围 对于一般碰撞中的速度范围： 2vC－v1≤v1′≤vC vC≤v2′≤2vC－v2 1.2 版结论：非弹性碰撞的速度记忆(赠品版) v1－vC vC－v2 ＝ m2 m1 e＝ v2′－v1′ v1－v2 ＝ v2′－vC vC－v2 ＝ vC－v1′ v1－vC 则有 v1′＝vC－ em2 m1＋m2 (v1－v2) v2′＝vC＋ em1 m1＋m2 (v1－v2) 此结果为附属品，仅仅提供一个记忆方式 以下两个例题节选自王一了 【例 3】两等大小球 A 和 B 相向而行，质量分别为 1kg、3kg，速率分别为 8m/s、2m/s，某时刻发生正 碰，求碰后两小球的速度的范围 解析 直接上图 易知：－7 m/s≤v1′≤0.5 m/s；0.5 m/s≤v2′≤3 m/s 【例 4】两等大小球 A 和 B 相向而行，速率分别为 8 m/s、2 m/s，某时刻发生弹性正碰求碰后两小球的 速度的范围。 直接上两个极限，速度 v1＝8 m/s 的质量无穷大，此时 v2′可取最大值 18 m/s 速度 v2＝－2 m/s 的质量无穷大，此时 v1′可取－12 m/s 于是－12 m/s≤v1′≤8 m/s；－2 m/s≤v2′≤18 m/s 4 2.0 版结论：动量变化量 根据 1.1 结论，前提条件 p1 m1 ＞ p2 m2 即 m2 m1 ＞ p2 p1 m1(2vC－v1)≤p1′≤m1vC 化简可得 2m1 m1＋m2 p 总－p1≤p1′≤ m1 m1＋m2 p 总 左侧可取最小值，右侧取最大值，即可得到范围－p1＜p1′＜p1 m2vC≤p2′≤m2(2vC－v2)化简可得 m2 m1＋m2 p 总≤p2′≤ 2m2 m1＋m2 p 总－p2 左侧可取最小值，右侧取最大值，p2＜p1′＜2p1＋p2 图像绘制是有区间的，现在关注其区间范围 I 的范围是 I1≤I≤2I1，即 m1m2(v1－v2) m1＋m2 ≤I≤ 2m1m2(v1－v2) m1＋m2 这也是系统内每个物体的动量变化范围。 [如果感觉字母比较多，利用 vC这个中间量，这样看着好看些 m1(v1－vC)≤I≤2m1(v1－vC)或 m2(vC－v2)≤I≤2m2(vC－v2)] 3.0 版结论：能量问题 (1)最直接的应用就是爆炸类(如下图)，令初始储存的能量 E， ①系统初始速度 vC＝0 即系统初始静止，作出各自的 v－I 图如右图，则 v2 v1 ＝ m1 m2 则各自与 I 轴围成面积，即二者的动能之比： Ek2 Ek1 ＝ m1 m2 (即动能与质量成反比) Ek1＝ m2 (m1＋m2) E Ek2＝ m1 (m1＋m2) E ②系统初始速度 vC≠0，作出各自的 v－I 图如右图，则 v2－vC vC－v1 ＝ m1 m2 I1＝ v1－v2 k1＋k2 ＝ m1m2(v1－v2) m1＋m2 可得E＝ m1m2 2(m1＋m2) (v1－v2)2 类似碰撞中直接取恢复区。 5 (2)非弹性碰撞中系统动能损失 根据令e＝ v2′－v1′ v1－v2 (恢复系数)，根据数学关系必定有e2 ＝ 恢复量 转化量 于是系统的动能损失值可以表述为：Ek损＝ 1 2 (1－e2) m1·m2 (m1＋m2) (v1－v2)2 【例 5】A、B 两个小球在光滑水平面上同一方向运动，A 球追上 B 球后发生对心弹性正碰，从碰撞开 始到两球速度相等的过程中，A 球对 B 球的冲量大小 I1，做功为 W1；从两球速度相等到两球分离过程中，A 球对 B 球的冲量大小 I2，做功为 W2；则( ) A．I1＝I2 B．I1＞I2 C．W1＝W2 D．W1＜W2 解析 作出 v－I 图， 由于是弹性碰撞 I1＝I2，通过图像可以看出 W1＜W2 6 4.0 版结论：电容等效质量 模型来源，如图所示，光滑导轨，磁场垂直纸面向里磁感应强度大小为 B，左端 连有电容为 C 的电容器，恒力 F 作用于静止的长 L 的导体棒，不计一切电阻，计算可 得其加速表达式为： a＝ F m＋B2L2C 由此想到：电容器相当于一个质量为 M 的导体棒，且 M＝CB2L2。 在理想电路中电源可以源源不断的提供电能而电压不会降低，U＝ Q C →0 ，也就是有着无限的储能能 力，故而看成一个电容极大的电容器即 C→∞，可以得到电源的等效出的“导体棒”的质量 M＝CB2L2→∞。 于是下面几种模型可以口算出答案 模型：光滑水平导轨，磁场 B，电容为 C，导体棒长 L，不计一切电阻，如下图所示： 7 类型 2，穿越型 模型特点：整个系统作用过程临界值是共速，系统的动能是只有转化区，不存在恢复区。 对于该类型，则可以知道其动量变化区间为 0＜I≤I1，即0＜I≤ m1m2(v1－v2) (m1＋m2) 该结果暂时不知道有啥用，但如果动静穿越型的有一些用处，比如 m2 的速度最大值即为共速。且还可 以知道在 m1的质量和初速度固定的情况下，m2的质量越小，可获得的速度越大。(2024 湖北卷终于用到了) 最后还有一种特殊的穿越型，既没有经历共速但又能释放恢复一部分动能。比如下图 出写于 2020.10，重绘于 2024.7.9