专题特训　正方形中的基本模型课件2024-2025学年人教版数学八年级下册

专题特训　正方形中的基本模型 平行四边形专题特训 类型一　正方形中的“手拉手”模型 1. （2024·崇左宁明三模）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是 边AB上的一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AD⊥CD，AG ＝CF，BC＝CD. （1） 试判断四边形ABCD的形状，并说明理由. 1 2 3 4 5 （第1题） 平行四边形专题特训 解：（1） 四边形ABCD是正方形.　理由： ∵ GD⊥DF，AD⊥CD，∴ ∠FDG＝90°，∠ADC ＝90°.∴ ∠ADG＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝ 90°.∴ ∠ADG＝∠CDF. ∵ AG⊥DG，DF⊥CE， ∴ ∠G＝∠DFC＝90°.∵ AG＝CF， ∴ △ADG≌△CDF. ∴ AD＝CD. ∵ BC＝CD. ∴ BC＝AD. ∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边 形. ∵ AD＝CD，∠ADC＝90°，∴ 四边形ABCD是正 方形. （第1题） 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （2） 如图②，在正方形ABCD中，E是边AB上的一点，DF⊥CE于点 F，AH⊥CE交CE的延长线于点H，GD⊥DF交HA的延长线于点G，试判 断线段HF，AH，CF之间的数量关系，并说明理由. 解：（2） HF＝AH＋CF. 　理由：∵ DF⊥CE， AH⊥CE，GD⊥DF，∴ ∠DFH＝∠FHG＝∠FDG ＝90°.∴ 四边形HFDG是矩形.∴ ∠G＝90°.∴ 易 得∠G＝∠DFC. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝ CD，∠ADC＝90°.∴ 易得∠ADG＝∠CDF. ∴ △ADG≌△CDF. ∴ AG＝CF，DG＝DF. ∴ 四边 形HFDG为正方形.∴ HG＝HF. ∵ HG＝AH＋AG＝ AH＋CF，∴ HF＝AH＋CF. （第1题） 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 类型二　正方形中的对角互补模型 2. （核心素养·推理能力）如图①，在正方形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，过点O作OE⊥OF分别交DC，BC于点E，F，连接 EF，∠FEC的平分线EP交直线AC于点P. （第2题） 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （1） ① 求证：OF＝OE. ② 写出线段EF，PC，BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论. 解：（1） ① ∵ OE⊥OF，且在正方形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，∴ ∠EOF＝90°，∠BOC＝90°，OB＝OC，∠OBF＝ ∠OCE＝45°.∴ ∠BOC－∠COF＝∠EOF－∠COF，即∠BOF＝ ∠COE. 在△BOF和△COE中， ∴ △BOF≌△COE. ∴ OF＝OE. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 ② EF＋ PC＝BC. 由①，知OE＝OF，∴ ∠OEF＝∠OFE＝ 45°.∴ 在Rt△OEF中，易得EF＝ OE. ∵ ∠FEC的平分线EP交 直线AC于点P，∴ ∠FEP＝∠CEP. ∵ ∠OPE是△CPE的外角， ∴ ∠OPE＝∠PCE＋∠CEP＝45°＋∠CEP. ∵ ∠OEP＝∠OEF＋ ∠FEP＝45°＋∠FEP，∴ ∠OEP＝∠OPE. ∴ OE＝OP. ∴ EF＝ OE＝ OP. ∵ 易知BC＝ OC＝ （OP＋PC），∴ EF＋ PC＝BC. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （2） 将∠EOF绕点O按逆时针方向旋转一个角度，使点E，F分别在 CD，BC的延长线上，请在图②中完成图形，并判断（1）中的结论① ②是否分别成立.若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）. 解：（2） 完成图形如图②所示.结论①成立；结论②不成立，应为EF － PC＝BC. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 类型三　正方形中的半角模型 3. （2023·泰安肥城一模）如图①，在Rt△CEF中，∠C＝90°， ∠CEF，∠CFE的邻补角的平分线交于点A，过点A分别作直线CE， CF的垂线，垂足分别为B，D. （第3题） （1） ∠EAF＝ ⁠. 45°　 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （2） ① 求证：四边形ABCD是正方形. ② 若BE＝EC＝3，求DF的长. 解：（2） ① 如图①，过点A作AG⊥EF于点G，则∠AGE＝∠AGF ＝90°.∵ AB⊥CE，AD⊥CF，∴ ∠B＝∠D＝90°＝∠C. ∴ 四边 形ABCD是矩形.∵ ∠BEF，∠DFE的平分线交于点A，∴ AB＝ AG，AD＝AG. ∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是正方形. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 ② 设DF＝x.∵ BE＝EC＝3，∴ BC＝6.由①，得四边形ABCD是正 方形，∴ BC＝CD＝6.∴ CF＝CD－DF＝6－x.在Rt△ABE和 Rt△AGE中， ∴ Rt△ABE≌Rt△AGE. ∴ BE＝GE＝3. 同理，可得GF＝DF＝x.∴ EF＝GF＋GE＝x＋3.在Rt△CEF中， 由勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即32＋（6－x）2＝（x＋3）2，解 得x＝2.∴ DF的长为2. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （3） 如图②，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则 HR＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 类型四　正方形中的十字模型 4. （2023·重庆九龙坡模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在 边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于 点G. 若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（　A　） A. 90°－α B. 90°＋α C. 90°＋2α D. 90°－2α （第4题） A 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 5. （2023·广元利州期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别 在AB，BC上，且AE＝BF. （第5题） （1） 试探索线段AF，DE之间的数量关系，写出你的结论并证明. 解：（1） AF＝DE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ DA＝AB， ∠DAB＝∠ABC＝90°.∵ AE＝BF，∴ △DAE≌△ABF. ∴ DE＝ AF. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 （2） 连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J， K，并依次连接，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补 全图形，并证明. 解：（2） 四边形HIJK是正方形.补全图形如图②所示.设AF与DE交 于点O. ∵ H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点，∴ 易得 HI＝KJ＝ AF，HK＝IJ＝ ED，HI∥AF，KH∥ED. ∵ AF＝ DE，∴ HI＝KJ＝HK＝IJ. ∴ 四边形HIJK是菱形.由（1），知 △DAE≌△ABF，∴ ∠ADE＝∠BAF. ∵ ∠ADE＋∠AED＝90°， ∴ ∠BAF＋∠AED＝90°.∴ ∠AOE＝90°.∵ HI∥AF， KH∥ED，∴ 易得∠KHI＝90°.∴ 四边形HIJK是正方形. 1 2 3 4 5 平行四边形专题特训 $$