6.2.3 6.2.4 第2课时 组合数的综合应用（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.2　排列与组合 6.2.3　组　合 6.2.4　组合数 第2课时　组合数的综合应用 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 探究一　有限制条件的组合问题 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　几何中的组合问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　分组、分配问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究四　排列、组合的综合问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 【例题1】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)选出2名教师去参加会议； (2)选出男、女教师各2名去参加会议； (3)选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师． 解析　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共有C＝45(种)不同的选法． (2)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名，有C种选法；第二步，从4名女教师中选2名，有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝15×6＝90(种)不同的选法． (3)方法一　至少有1名男教师可分两类：1男1女，有CC种选法；2男0女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝39(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C－C＝39(种)． 规律总结 有限制条件的组合问题的解题原则和方法 (1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则． (2)常用方法 ①直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素． ②间接法：原则是“正难则反”，也就是当正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此． 【变式1】 (1)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 (2)本例条件不变，按下列要求各有多少种不同的选法？ ①选出2名男教师或2名女教师去参加会议； ②选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师； ③选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师． 解析　(1)符合题意的组队方案可分为两类：一男两女，有CC＝5×6＝30(种)；两男一女，有CC＝10×4＝40(种)．所以不同的组队方案共有30＋40＝70(种)．故选D项． 答案　D (2)①可把问题分两类： 第一类，选出的2名是男教师，有C种选法； 第二类，选出的2名是女教师，有C种选法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同的选法． ②2名教师中恰有1名男教师，即选出1男1女，有CC＝6×4＝24(种)不同的选法． ③方法一　至多有1名男教师包括两类：1男1女，有CC种选法；0男2女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝30(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C－C＝30(种)． 【例题2】 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 解析　方法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形； 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形． 根据分类加法计数原理，共有48＋112＋56＝216(个)不同的三角形． 方法二　从12个点中任意取3个点，有C种取法，而在共线的4个点中任意取3个点均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C种．故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216. 规律总结 求解几何中组合问题的注意事项 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止重复计算，常用直接法，也可用排除法． 【变式2】 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异 于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上 有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.则： ①以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ ②以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？ 解析　(1)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上，除点A外都有2个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的不同的取法有3C＋3＝33(种)． (2)①构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：a.四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C个四边形； b．三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形； c．两个点从C1，C2，…，C6中取出，另外两个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有CC个四边形． 故满足条件的四边形共有C＋CC＋CC＝360(个)． ②类似于①可分三种情况讨论得，满足条件的三角形共有C＋CC＋CC＝116(个)． 【例题3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本． 解析　(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法．所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种)不同的选法． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程也可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理，共有xA种方法，即CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种不同的选法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60(种)不同的选法． 规律总结 分组与分配问题的求解策略 (1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键要看是否有分配对象，若没有分配对象，则为分组问题，若有分配对象，则为分配问题．若有确定的分配对象，则为定向分配问题，反之，则为不定向分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【变式3】 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 答案　A 解析　将4名学生平均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．故选A项． 【例题4】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表． 解析　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共有(CC＋CC)A＝5 400(种)选法． (2)除去该女生后，先选后排，有CA＝840(种)选法． (3)先选后排，但先安排该男生，有CCA＝3 360(种)选法． 规律总结 解决排列、组合综合问题 要遵循的原则及途径 (1)按事情发生的过程进行分步． (2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． 【变式4】 (1)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是(　　) A．9 B．18 C．27 D．36 (2)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　) A．90 B．120 C．210 D．216 解析　(1)方法一　先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有CA＝36(种)．故选D项． 方法二　先选择一个工地派2辆车，再将剩余的2辆车派给另外2个工地，则不同的派法共有CCA＝36(种)．故选D项． (2)因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CA＝120(种)站法；第二类，有2人站在同一级台阶上，剩余1人独自站在一级台阶上，共有CCA＝90(种)站法．所以不同的站法种数是120＋90＝210.故选C项． 答案　(1)D　(2)C 1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取3个球，则这3个球同色的不同取法有(　　) A．27种 B．24种 C．21种 D．18种 答案　B 解析　分两类：一类是3个白球，有C＝20(种)取法，另一类是3个黑球，有C＝4(种)取法，所以共有20＋4＝24(种)取法．故选B项． 2．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个奇数，一个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为(　　) A．60 B．24 C．12 D．36 答案　D 解析　第一步先将三个数取出，有CC＝6(种)方法，第二步对取出的三个数进行排列，共有A＝6(种)方法，所以共有6×6＝36(个)三位数．故选D项． 3．从进入决赛的9名选手中决选出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有(　　) A．126种 B．160种 C．1 260种 D．1 620种 答案　C 解析　第一步，决选出三等奖，有C＝126(种)情况；第二步，决选出二等奖，有C＝10(种)情况；第三步，决选出一等奖，有C＝1(种)情况．根据分步乘法计数原理，共有126×10×1＝1 260(种)决赛结果．故选C项． 4．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有____种不同的选法(用数字作答)． 解析　当志愿组有3名男生，2名女生时，有CCCCA＝360(种)方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有CCCA＝120(种)方法，由分类加法计数原理得，共有360＋120＝480(种)不同的选法． 答案　480 5．已知一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋里任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)恰有1个为红球，共有多少种取法？ 解析　(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法有C＝126(种)． (2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法；然后从2个红球中任取1个红球，有C种取法．所以共有CC＝70(种)取法． $$