6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 返回目录 数学　选择性必修 第三册 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　分类加法计数原理 两 m n m＋n n m1 m2 mn m1＋m2＋…＋mn 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　分步乘法计数原理 两 m n m×n n m1 m2 mn m1×m2×…×mn 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　分类加法计数原理 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　分步乘法计数原理 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　两个计数原理的简单综合应用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 学法指导 1．通过实例，了解分类加法计数原理及其意义． 2．通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义. 1．根据实际问题归纳出两个计数原理，要正确理解“完成一件事”的含义，会应用两个计数原理解决问题． 2．根据实际问题的特征，能正确区分“分类”与“分步”：分类着重在“类”，类与类之间是并列的、互斥的、独立的；分步强调的是“步”，步与步之间是连续的、缺一不可的． 3．通过对两个计数原理的学习和应用，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 问题导入 一、第三十三届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是国际体坛的一大盛事．若有一名志愿者从梅斯直接赶赴巴黎为游客提供导游服务，每天有2个航班，3列火车． 问题1：该志愿者从梅斯到巴黎的方案可分几类？ 提示　两类，即乘飞机、坐火车． 提示　共有2＋3＝5(种)不同的方法． 问题2：这几类方案中各有几种方法？ 提示　第1类方案(乘飞机)有2种方法，第2类方案(坐火车)有3种方法． 问题3：该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不同的方法？ 提示　第1个步骤有4种方法，第2个步骤有5种方法． 问题6：该志愿者从梅斯到巴黎共有多少种不同的方法？ 提示　共有4×5＝20(种)不同的方法． 二、若一名志愿者从梅斯赶赴巴黎为游客提供导游服务，但需绕行兰斯停留，再从兰斯出发到巴黎．已知从梅斯到兰斯每天有4列火车，从兰斯到巴黎每天有5列火车． 问题4：该志愿者从梅斯到巴黎需要经历几个步骤？ 提示　两个，即先坐火车到兰斯再坐火车到巴黎． 问题5：完成每一步各有几种方法？ 微梳理 定义 完成一件事有___类不同方案，在第1类方案中有___种不同的方法，在第2类方案中有___种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法 推广 完成一件事有___类不同方案，在第1类方案中有_____种不同的方法，在第2类方案中有_____种不同的方法……在第n类方案中有_____种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法 思考：(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？ (2)各种方案之间有何关系？ 提示　(1)每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． (2)各种方案之间相互独立． 定义 完成一件事需要___个步骤，做第1步有___种不同的方法，做第2步有___种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法 推广 完成一件事需要___个步骤，做第1步有_____种不同的方法，做第2步有________种不同的方法……做第n步有________种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法 思考：定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？ 提示　每一步中的每一种方法不能独立完成这件事． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每一种方法都可以完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) 解析　(1)错误．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同，则它在同一类方案中有且只能算是一种方法． (2)正确．在分类加法计数原理中，每一种方法都是独立的，可以单独完成这件事． (3)错误．在分步乘法计数原理中，每一步不能单独完成这件事． (4)正确．分步中的各种方法是相互独立的，所以每个步骤中的方法是各不相同的． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【例题1】 某校高三共有三个班，其各班人数如表所示. 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三一班 30 20 50 高三二班 30 30 60 高三三班 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从一班、二班男生中或从三班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解析　(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从高三一班任选一名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三二班任选一名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三三班任选一名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种)． (2)由题设知共有三类： 第1类，从一班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； 第2类，从二班男生中任选一名学生，有30种不同的选法； 第3类，从三班女生中任选一名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种)． 规律总结 (1)应用分类加法计数原理解题的关键 ①标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案． ②不重不漏：完成这件事的各类方案必须满足既不重复，又不遗漏． ③方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． (2)应用分类加法计数原理解题的一般思路 【变式1】 (1)从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不正确 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为______. 解析　(1)分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．故选B项． (2)方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 答案　(1)B　(2)36 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位是7的有6个； …… 个位是2的有1个． 根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 【例题2】 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每个项目只有一个冠军)，共有多少种可能的结果？ 解析　(1)依次确定4名同学的选报项目，第一名同学在三项运动中选择一项，有3种选法，同理，第二、三、四名同学也都有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝81(种)报名方法． (2)依次确定三个项目的冠军，跑步的冠军由这4名同学中的一位获得，因此有4种可能，同理，跳高、跳远这两个项目的冠军也都有4种可能，根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝64(种)可能的结果． 规律总结 (1)应用分步乘法计数原理解题的一般思路 (2)应用分步乘法计数原理解题的注意点 ①将一个复杂的问题分解为若干“步骤”，要先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程． ②在分步过程中，任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． ③分步的标准不同，分成的步骤数一般也不同． 【变式2】 (1)某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名班干部参加学生党校培训，则不同的选法种数为(　　) A．20 B．9 C．16 D．24 (2)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为(　　) A．7 B．9 C．12 D．16 解析　(1)由题可知，男生选一名有5种选法，女生选一名有4种选法，则不同的选法种数为5×4＝20.故选A项． (2)得到圆的方程分两步：第一步，确定a有3种方法；第二步，确定b有4种方法．根据分步乘法计数原理，共可表示3×4＝12(个)不同的圆．故选C项． 答案　(1)A　(2)C 【例题3】 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 解析　(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法．根据分类加法计数原理，共有50＋42＋30＝122(种)选法． (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．根据分步乘法计数原理，共有50×42×30＝63 000(种)选法． (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法； ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法； ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法． 故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法． 规律总结 两个原理的区别与联系： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 【变式3】 (1)如图，从A→C的不同走法有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 (2)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是(　　) A．14 B．23 C．48 D．120 解析　(1)从A到C可分两类：第一类，从A到B再到C，共有2×2种走法；第二类，从A直接到C共有2种走法．所以从A→C共有4＋2＝6(种)走法．故选C项． (2)分两步：第一步，取多面体，分两类，可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个，根据分类加法计数原理有5＋3＝8(种)不同的取法；第二步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个，根据分类加法计数原理有4＋2＝6(种)不同的取法．所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是8×6＝48.故选C项． 答案　(1)C　(2)C 1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有(　　) A．5种 B．4种 C．9种 D．45种 答案　C 解析　会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选法；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选法．两者相加一共有9种选法．故选C项． 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 答案　B 解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．所以共有4×3＝12(种)不同的配法．故选B项． 3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 答案　C 解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)虚数．故选C项． 4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,8,9}，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为______. 解析　分为两类：第一类含5，若5来自集合A，则可以组成2个新的集合，若5来自集合B，则可以组成4个新的集合；第二类不含5，可以组成4×2＝8(个)新的集合．所以可以组成这样的新集合的个数为2＋4＋8＝14. 答案　14 $$