6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 探究一　组数问题 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　选(抽)取与分配问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　种植与涂色问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 【例题1】 已知有0,1,2,3,4五个数字． (1)用这五个数字可以排成多少个三位数？ (2)用这五个数字可以排出多少个三位数字的电话号码？ (3)用这五个数字可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解析　(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(种)排法，所以可以排成100个三位数． (2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)排法，所以可以排出125个三位数字的电话号码． (3)被2整除的数是偶数，末位数字可取0,2,4，因此可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 规律总结 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． [注意] 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． 【变式1】 (1)用1,3,5,7中的任意一个数作分子，2,4,8,9中的任意一个数作分母，则可构成真分数的个数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 (2)从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ ①三位数； ②三位数的偶数． 解析　(1)分四类：①当分子为1时，有，，，，共4个真分数；②当分子为3时，有，，＝，共3个真分数；③当分子为5时，有，，共2个真分数；④当分子为7时，有，，共2个真分数．根据分类加法计数原理，可构成4＋3＋2＋2＝11(个)真分数．故选D项． 答案　D (2)①三位数有三个数位，分别是百位，十位和个位． 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(个)满足要求的三位数． ②分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 故共有2×3×2＝12(个)三位数的偶数． 【例题2】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，有多少种不同的选法？ 解析　由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分三类： 第一类，“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法； 第二类，“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法； 第三类，“多面手”既不参加英语活动也不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2×6＝12(种)选法． 故共有2＋6＋12＝20(种)不同的选法． 规律总结 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：先去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 【变式2】 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋也会下围棋，现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 解析　方法一　分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法； 第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法； 第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4(种)选法； 第4类，从2名既会下象棋也会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2×1＝2(种)选法． 故共有6＋6＋4＋2＝18(种)不同的选法． 方法二　分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有3×4＝12(种)选法； 第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有2×3＝6(种)选法． 故共有12＋6＝18(种)不同的选法． 【例题3】 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解析　如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法． (1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，有5×12×3＝180(种)不同的涂法． (2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种不同的涂法，由于相邻两格不同色，因此第4个小方格也有4种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，有5×4×4＝80(种)不同的涂法． 根据分类加法计数原理，共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 规律总结 涂色问题常用的解决方案 (1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算． (2)先根据涂色时所用颜色数的多少进行分类处理，再在每一类的涂色方案中应用分步乘法计数原理进行计算，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法种数求和，即得到最终涂色方法种数． 【变式3】 (1)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法种数为(　　) A．20 B．24 C．12 D．11 (2)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　) A．1 050种 B．1 260种 C．1 302种 D．1 512种 解析　(1)A种植在左边第1垄时，B种植在第8,9,10垄中的任一垄，有3种不同的种植方法；A种植在左边第2垄时，B种植在第9,10垄中的任一垄，有2种不同的种植方法；A种植在左边第3垄时，B种植在第10垄，只有1种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2×(3＋2＋1)＝12(种)不同的选垄方法．故选C项． (2)由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择．当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1 302(种)．故选C项． 答案　(1)C　(2)C 微专题 明易错·误区警示 一、分类计数时考虑不全 【例题1】 有红、黄、蓝三种颜色的旗各3面，每次升起1面、2面、3面旗在旗杆上纵向排列时，分别表示不同的信号，且颜色顺序不同表示的信号也不相同，则可以组成多少种不同的信号？ [解析] 每次升起1面旗可组成3种不同的信号； 每次升起2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号； 每次升起3面旗可组成3×3×3＝27(种)不同的信号． 根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信号． [易错提醒] 使用分类加法计数原理时，分类的划分标准可以有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． 二、两个基本计数原理分辨不清 【例题2】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法有(　　) A．4种 B．24种 C．64种 D．81种 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3趟，则此人的走法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．8种 [解析] (1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中有4种投法；第3封信投到信箱中有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，根据分步乘法计数原理，共有43＝64(种)投法．故选C项． (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，根据分类加法计数原理，此人的走法共有4＋3＝7(种)．故选C项． [答案] (1)C　(2)C [易错提醒] 解决计数问题的基本策略是合理地分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易因标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，误认为是每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地需先坐火车后坐轮船，使用分步乘法计数原理计算． 1．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有(　　) A．8个 B．10个 C．18个 D．24个 答案　A 解析　个位数字是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择，百位数字有2种选择，十位数字只有1种选择，根据分步乘法计数原理，用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数为奇数的有2×2×2×1＝8(个)．故选A项． 2．某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 答案　C 解析　因为除小张外，每名同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中的任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．故选C项． 3．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 答案　C 解析　设4个班级分别是A，B，C，D，对应的老师分别是a，b，c，d.设a监考的是B，则剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级，共有3种不同的方法；同理，当a监考C或D时，剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级也各有3种不同的方法．根据分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．故选C项． 4．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有______种． 解析　先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后剩下的两个区域有2种选择．故不同的涂色方法有4×3×2×2＝48(种)． 答案　48 $$