6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　平面向量数量积的坐标表示 x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　两个向量垂直的坐标表示 x1x2＋y1y2 ＝0 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　用坐标表示的三个重要公式 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　平面向量数量积的坐标运算 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　平面向量的模 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　平面向量的夹角和垂直问题 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角(重点).2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件(重点).3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝___________，即两个向量的数量积等于_________________________. 思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作用是什么？ 提示　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序，数量积坐标运算的作用是将数量积运算转化为代数运算． 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ⇔__________ _____. 1．向量的模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝_______. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ ______________________. 3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝___________________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝5.(　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　　) (4)向量的夹角公式仅适用于两个非零向量．(　　) 解析　(1)错误，向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根． (2)正确，|F1 ＋F2|＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5. (3)错误，当x1y2－x2y1＝0时，a∥b，则向量a与b的夹角为0°或180°. (4)正确，分式的分母不能为零． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结　 (1)数量积运算的两个途径：①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算． ②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应点的坐标即可求解；对于条件中未给出向量坐标的，可通过建系转化为坐标运算． 【例题1】 已知向量a＝(2,4)，b＝(1,2)． (1)求a·b； (2)若c＝(2，－1)，求(a·b)·c及a·(b·c)． 解析　(1)由题意可得a·b＝(2,4)·(1,2)＝2×1＋4×2＝10. (2)由(1)知a·b＝10，所以(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)，而b·c＝(1,2)·(2，－1)＝1×2＋2×(－1)＝0，所以 a·(b·c)＝a·0＝0＝(0,0)． 【变式1】 (1)在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝_______. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上的动点，则·的值为_______，·的最大值为_______． 解析　(1)设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3. (2)以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，所以·的最大值为1. 答案　(1)3　(2)1　1 规律总结　 (1)用字母表示的向量的模的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)用坐标表示的向量的模的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. 【例题2】 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，求|2a－b|的最大值． 解析　由题意可知2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－4cos θ＋3＋4sin2θ＝7－4cos θ，所以|2a－b|＝≤＝2＋，当且仅当cos θ＝－1时，等号成立，所以|2a－b|的最大值为2＋. 【变式2】 (1)(2023·北京)已知向量a，b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝_______. 解析　(1)由题意可得|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B项． (2)a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，所以x＝2，y＝1，所以a＝(2,1)，所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5. 答案　(1)B　(2)5 规律总结　 (1)利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： ①求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． ②求模．利用|a|＝计算两向量的模． ③求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值． ④求角．由向量夹角的范围及cos θ的值求θ. (2)向量夹角θ的取值范围是[0，π]，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0；cos θ＝0只有一种情况，此时a⊥b． 【例题3】 (1)(2023·新课标Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 (2)(2023·全国甲)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)·(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D项． (2)因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B项． 【变式3】 已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角θ的余弦值； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值． 解析　(1)由题意得a·b＝4×(－1)＋3×2＝2.因为|a|＝＝5，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝. (2)a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)．因为(a－λb)⊥(2a＋b)，所以(a－λb)·(2a＋b)＝0，即7×(4＋λ)＋8×(3－2λ)＝0，解得λ＝，所以λ的值为. 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.故选C项． 2．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b的夹角θ的余弦值为_______. 解析　依题意得cos θ＝＝＝. 答案　 3．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则|a－2b|＝_______. 解析　因为a＝(2,3)，b＝(－1,2)，所以a－2b＝(4，－1)， 所以|a－2b|＝＝. 答案　 4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则 k＝_______. 解析　因为a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，所以a－c＝(3－k，－1)．因为(a－c)⊥b，所以(a－c)·b＝0，所以(3－k)×1＋(－1)×3＝0，所以k＝0. 答案　0 $$