6.4.1 6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　平面几何中的向量方法 向量 向量问题 向量运算 翻译 返回目录 数学　必修 第二册 0 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　向量在物理中的应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　向量在几何中的应用 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　向量在物理中的应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用(难点).2.发展数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用_______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__________； (2)通过__________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“_______”成几何关系． 2．平面几何中证明问题的具体转化方法 (1)证明线段AB＝CD，可转化为证明2＝2. (2)证明线段AB∥CD，只需证明存在一个实数λ≠0，使_____ ____成立． (3)证明两线段AB⊥CD，只需证明数量积·＝_____. (4)证明A，B，C三点共线，只需证明存在一个实数λ≠0，使＝____________. ＝ λ λ(或λ) 3．平面向量及三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面内一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心(三角形三边高的交点)⇔·＝·＝·. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识． (1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减法． (3)动量mv就是质量m与速度v的积． (4)功的定义即是力F与所产生的位移s的数量积F·s. 思考：用向量法解答物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么？ 提示　还要考虑所给出的结果是否满足实际意义． 规律总结　 将平面几何问题转化为向量问题后，可以用向量运算，也可以用向量的坐标运算．利用坐标法解决几何问题的一般步骤：①建立平面直角坐标系；②设出相关点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算求出结果；⑤作出结论． 【例题1】 (1)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. (2)已知E为△ABC内一点，若＋2＋3＝0，△EBC，△ABC的面积分别为S′，S，求证：S＝6S′. 证明　(1)方法一　由题意可得AE＝AB，BF＝BC＝Ad．设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝2×1＋1×(－2)＝0，所以⊥，即AF⊥DE. (2)如图，设AC，BC边的中点分别为F，P，连接EF，EP. 因为＋2＋3＝0，所以＋＝－2(＋)， 所以2＝－4，即＝－2，所以 F，E，P三点共线． 设点E，F到BC的距离分别为d1，d2， 则d1∶d2＝1∶3. 设点A到BC的距离为d3.因为F是AC的中点，所以d2∶d3＝1∶2，所以d1∶d3＝1∶6，所以S′∶S＝d1∶d3＝1∶6，即S＝6S′. 【变式1】 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形． (1)求证：PA＝EF； (2)求证：PA⊥EF. 证明　(1)以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，||＝λ(0<λ<)，则A(0,1)，C(1,0)，P，E，F，所以＝，＝，所以||2＝λ2－λ＋1，||2＝λ2－λ＋1，所以||2＝||2，所以PA＝EF. (2)因为·＝－λ＋＝－λ2＋λ－λ＋λ2＝0，所以⊥，即PA⊥EF. 答题模板　 用向量解答物理问题的一般步骤： (1)建模，把物理问题转化成数学问题； (2)解模，解答得到的数学问题； (3)回答，利用解得的数学答案解释物理现象． 【例题2】 (1)某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|＞|v2|)，则逆风行驶时的速度大小为(　　) A．v1＋v2 B．v1－v2 C．|v1|＋|v2| D．|v1|－|v2| (2)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 解析　(1)A，B项表示的是向量(速度)，C，D项表示的是向量模的运算(速度的大小)．|v1|＋|v2|表示的是某人骑自行车顺风行驶时的速度大小，|v1|－|v2|表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度大小．故选D项． (2)因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2.故选D项． 答案　(1)D　(2)D 【变式2】 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，一个重80 N的木块受力F的作用在摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，求力F和摩擦力f所做的功． 解析　设木块的位移为s，则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)，F在竖直方向上的分力大小为F·sin 30°＝×50＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s＝| f ||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)，则力F，f所做的功分别是500 J，－22 J. 1．(多选)在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论中错误的是(　　) A．＝ B．与共线 C．＝ D．与共线 答案　ABC 解析　由题意知，DE为△ABC的中位线，所以DE∥BC，所以与共线，故D项结论正确，不符合题意．易知A，B，C项的结论错误，均符合题意．故选ABC项． 2．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　C 解析　由·＝0得AB⊥BC，又＝，所以AB与DC平行且相等，从而四边形ABCD是矩形．故选C项． 3．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，则河水的流速为(　　) A．2 km/h B．2 km/h C． km/h D．3 km/h 答案　A 解析　如图，设A为渔船，BC所在直线为对岸，AB＝4 km，实际航程为AC＝8 km，则∠BCA＝30°，|vAB|＝2 km/h，|vAC|＝4 km/h，所以|vBC|＝2 km/h.故选A项． 4．已知力F＝(2,3)作用于一个物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体做的功为_______． 解析　由题意知＝(－4,3)，所以力F对物体做的功W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案　1 $$