6.2.1 向量的加法运算（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　向量加法的定义及运算法则 两个向量和 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　向量加法的运算律与有关不等式 b＋a (a＋b)＋c |a|＋|b| 方向相同 方向相反 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　向量加法的运算法则 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　向量加法的运算律 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　向量加法的实际应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义.2.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 定义 求______________的运算，叫做向量的加法 运算 法则 三角 形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，再作向量 运算 法则 三角 形法则 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行 四边 形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 运算 法则 平行 四边 形法则 结论 以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 图形 规定 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 双击改内容 1．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝________. (2)结合律：a＋(b＋c)＝__________. 2．向量加法的有关不等关系 (1)|a＋b|≤_______，当且仅当a，b___________或至少有一个为0时，等号成立． (2)||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当a，b_________或至少有一个为0时，等号成立． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量相加的结果可能是一个数量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　) (4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．(　　) (5)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．(　　) (6)在矩形ABCD中，＋＝＋.(　　) 解析　(1)错误，两个向量相加的结果仍然是向量． (2)错误，两个向量相加也要考虑方向． (3)错误，当两个向量共线时，两个向量的和向量与这两个向量共线． (4)错误，当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝||a|－ |b||；当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|. (5)错误，当两个向量共线时，不能使用平行四边形法则求解． (6)错误，因为＋＝，＋＝＋＝，而在矩形ABCD中，＝不成立． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 解题技巧　 向量求和的注意点 (1)三角形法则对于任何向量求和都适用，但要注意“首尾相连”． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则仅对于两个不共线的向量求和适用，且应用的前提是两向量共起点． (4)当涉及三个或三个以上的向量和时，一般用三角形法则求和更简单． 【例题1】 (1)如图1，求作向量a＋B． (2)如图2，求作向量a＋b＋C． 解析　(1)如图，首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b即为所求． (2)如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋B．再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 【变式1】 在如图所示的正五边形中，给出四个向量a，b，c，d． (1)求作向量a＋c； (2)求作向量b＋d． 解析　(1)如图1，设向量a的起点为O，终点为A，则＝a，再作＝c，则＝a＋c即为所求． (2)如图2，设向量b的起点为O1，终点为A1，则＝b，再作＝d，则＝b＋d即为所求． 解题技巧　 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【例题2】 化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解析　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. 【变式2】 化简：(1)＋＋； (2)(＋)＋(＋)； (3)＋(＋)＋. 解析　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (3)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0. 答题模板　 应用向量加法解决实际应用 问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，对有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例题3】 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向. 解析　(1)如图，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为临边作▱ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2.因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°. 【变式3】 (1)(多选)一艘船以3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，则船实际航行速度的大小和方向分别为(　　) A．速度的大小为3 km/h B．速度的大小为3 km/h C．方向与水流方向间的夹角为45° D．方向与水流方向间的夹角为90° (2)一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行．已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A，C两地相距300 km，则飞机从B地向C地飞行的方向及B，C间的距离分别为(　　) A．南偏东15°，300 km B．南偏东75°，300 km C．南偏东15°，300 km D．南偏东75°，300 km 解析　(1)设表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，表示水流速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则就是船的实际航行速度．由题意知，在Rt△ABC中，||＝3，||＝3，所以||＝＝＝3，tan∠CAB＝＝1，所以∠CAB＝45°.所以船实际航行速度的大小为3 km/h，方向与水流方向间的夹角为45°.故选AC项． (2)如图，＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300，所以||＝300，∠ABC＝45°.依题意得，A地在B地的南偏东30°的方向处，所以C地在B地的南偏东75°的方向处．所以飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东75°，B，C两地间的距离为300 km.故选B项． 答案　(1)AC　(2)B 1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A．1 B． C．3 D．2 答案　B 解析　正方形ABCD中，＋＝，所以|＋|＝||＝.故选B项． 2.＋＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　原式＝＋＋＋＝.故选A项． 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　在方格纸中作出＋，如图所示，由向量加法的运算法则和相等向量的概念可得＋＝.故选C项． 答案　100 4．作用在同一物体上的两个力|F1|＝60 N，|F2|＝80 N，当它们的夹角为90°时，这两个力的合力大小为________N. 解析　如图所示，表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则是F1和F2的合力．在△AOC中，||＝60，||＝||＝80且OA⊥AC，所以|| ＝＝＝100.所以这两个力的合 力大小为100 N. $$