精品解析：湖南省永州市永华高级中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题

永州永华高级中学高一数学3月份月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知，那么函数最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数f(x)=零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 角终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列函数中，是周期函数的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ） A. B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B. B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D. B＝60°，c＝4，b＝2，无解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 13. 化简：=___________. 14. 若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若，求实数a的值. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 19. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永州永华高级中学高一数学3月份月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】∵，∴， 又，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解出不等式的解集，即可选出其充分不必要条件. 【详解】解不等式，得或， 结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件. 故选：C. 【点睛】此题考查判断充分不必要条件，关键在于准确求解不等式，根据集合的包含关系判定充分不必要条件. 3. 已知，那么函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式可求得最小值． 【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6． 故选：B． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 5. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B． 考点：本试题主要考查了函数零点问题的运用． 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 7. 角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先求的正余弦三角函数，再求的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角的终边经过点，得， 因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的， 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题. 8. 已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，是函数的最大值，可得.由，可得.对进行赋值，结合函数的单调性，即得答案. 【详解】由题意，是函数最大值，，即． ，． 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，符合题意. 的最小值为7. 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列函数中，是周期函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式和函数周期性的定义逐一判断得出答案． 【详解】对于A，，的最小正周期为； 对于B，，的最小正周期为； 对于C，，的最小正周期为； 对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误. 故选：ABC 10. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底； 对于B：因为，故B中两个向量不共线，可以作为基底； 对于C：因为，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底； 对于D：因为，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底. 故选：ACD. 11. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ） A. B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B. B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解 C. B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D. B＝60°，c＝4，b＝2，无解 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误； 对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误； 对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以 因为幂函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 13. 化简：=___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解. 【详解】， ， 故答案为： 14. 若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 【答案】（﹣∞，﹣2] 【解析】 【分析】根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可． 【详解】设， 若函数的值域为，， 则等价于，是值域的子集， ， 设，则， 则， ， 当对称轴，即时，不满足条件． 当，即时，则判别式△， 即，则， 即实数的取值范围是， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若，求实数a的值. 【答案】1或4 【解析】 【分析】根据一元二次方程，解得集合，根据根的判别式以及根与系数关系，可得答案. 【详解】由已知可得， 因为，则或或或， 当时，，无解， 当时，则，解得， 当时，则，无解， 当时，则，解得， 综上，实数a的值为1或4. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2) 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，代入即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得、与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果. 【详解】（1） （2） 当时， 即 又恒成立 ，解得： 实数的取值范围为： 【点睛】本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果. 17. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可； （2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）∵，∴，即. 代入，得， 又，则，. 则. . (2)∵，，∴. 又，∴. ∴= =. 由，得. 【点睛】关键点睛：利用凑角得到是解决本题的关键. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化和三角函数恒等变换的应用，化简等式可得，利用特殊角的三角函数值即可得解； （2）根据余弦定理和基本不等式可解得，代入三角形面积公式即可得解． 【详解】解：（1）． ， ， ， ， ． （2）， ， ，当时取得等号， 面积的最大值. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化和三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，余弦定理和基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 【解析】 【分析】（1）将x=6时，y=220代入关系式，即可求出a； （2）根据每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数，根据二次函数求最值的方法得出最大值对应的x值． 【详解】（1）因为.且时，. 所以解得. . （2）由（1）可知，该商品每日的销售量. 所以商场每日销售该商品所获得的利润： 因为为二次函数，且开口向上，对称轴为. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法及生活中的优化问题，考查建模思想，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$