专题特训　利用勾股定理求最短路径课件2024-2025学年人教版数学八年级下学期

专题特训　利用勾股定理求最短路径 类型一　在圆柱上的最短路径 1. ★如图，圆柱的高BC＝12πcm，其底面圆周长是16πcm，P为BC的中 点，一只蚂蚁从点A处沿圆柱的外壁爬到点P处，则蚂蚁爬行的最短路 程是（　C　） A. 12πcm B. 11πcm C. 10πcm D. 9πcm （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2024·永州期末）如图，小红想用一条彩带缠绕一个圆柱形易拉 罐，正好从底端A处绕到顶端B处共4圈.若易拉罐的底面周长是24cm， 高是28cm，则所需彩带最短的长度是 cm. （第2题） 100　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. （2023·绍兴期中）如图，透明圆柱形容器（容器的厚度忽略不计） 的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有 一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与点B相对且距离容器上沿2cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是 cm. （第3题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （2024·河北期中）【阅读材料】 如图①，圆柱的高为12cm，底 面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上 底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的 长是多少？ （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成 平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结 合勾股定理，解决相应的问题.在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应 的位置如图②所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路线（线段 AB）的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【方法应用】 （1） 如图③，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形玻璃 容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇.试求急于捕获苍蝇充饥 的蜘蛛所走的最短路线的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1） 如答案图①所示为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，连接 SF，则线段SF就是蜘蛛走的最短路线.过点S作SN⊥CD于点N. ∵ ∠SNF＝90°，FN＝18－1×2＝16（cm），SN＝ ×60＝30 （cm），∴ SF＝ ＝ ＝34（cm）.∴ 蜘蛛所走 的最短路线的长为34cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 如图④，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm.假设昆虫甲 从盒内顶点C1处开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行， 同时昆虫乙从盒内顶点A处以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么 昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（2） 如答案图②所示为长方体的部分侧面展开图，设昆虫甲从顶 点C1处沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A处按路径 A→E→F爬行.设昆虫乙捕捉到昆虫甲需要xs.∵ 昆虫甲、昆虫乙的爬 行速度都是1cm/s，∴ AF＝xcm，C1F＝xcm.由题意，易得AC＝ 12cm，AA1＝CC1＝14cm，∠C＝90°，∴ CF＝CC1－C1F＝（14－ x）cm.∴ 在Rt△ACF中，AF2＝AC2＋CF2，即x2＝122＋（14－x）2，解得x＝ .∴ 昆虫乙至少需要 s才能捕捉到昆虫甲. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　在长方体上的最短路径 5. （2023·成都期末）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的表面爬到盒顶 的点B处，那么它爬行的最短路程是 cm. （第5题） 20cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. （2023·常州期中）（1） 如图①，长方体的长为10cm，宽为8cm， 高为16cm，BC＝4cm.若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A处爬行到 点B处，则需要爬行的最短路程是 cm. （第6题） 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 如图②，小明家住20楼，一天他与爸爸去买了一根长为3m的钢 管.如果电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.5m，在不损坏钢管 的前提下，请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内. 解：如图②，连接AB，BC. 由勾股定理，得AB＝ ＝ （m），∴ BC＝ ＝ ＝ （m）. ∵ ＞3，∴ 这根钢管能放进电梯内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　在其他图形上的最短路径 7. （2023·松原期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分 别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点.有一只 壁虎从点A处出发，沿着台阶面爬向点B处去吃可口的食物，则这只壁 虎至少需要爬 cm. 130　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2024·临沂期末）如图所示为某公园内云顶滑雪场U型池的示意 图，该场地可以看成是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截 面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在CD上，CE ＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短路线长 为 m. （第8题） 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. （2023·德阳）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB＝2 ，AA1＝2，M为AC的中点，一只小虫从点B1处沿三棱 柱ABC－A1B1C1的表面爬行到点M处，求这只小虫爬行的最短路程. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：如图①，将三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A 沿CC1展开在同一平面内，连接MB1.∵ M为AC的中点，△ABC和 △A1B1C1为等边三角形，∴ CM＝ AC＝ ×2 ＝ .∴ BM＝CM＋BC＝3 .在Rt△MBB1中，由勾股定理，得B1M＝ ＝ . （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图②，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接 MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则易得ME⊥AB， EF＝AA1，AE＝A1F. ∵ △ABC是等边三角形，∴ 在Rt△AME中， ∠MAE＝60°.∴ 易得ME＝ ，AE＝ .∴ MF＝ME＋EF＝ME ＋AA1＝ ，B1F＝A1B1－A1F＝ .在Rt△MFB1中，由勾股定理， 得B1M＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图③，把底面A1B1C1和侧面AA1C1C沿A1C1展开在同一平面内，连 接B1M，交A1C1于点N，则易得B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，MN＝ AA1.∵ △A1B1C1是等边三角形，∴ 在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝ 60°.∴ 易得NB1＝3.∴ B1M＝NB1＋MN＝5.∵ ＜5＜ ， ∴ 这只小虫爬行的最短路程为 . （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$