河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D A D B C BD BC ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．/ 14．/ 15．(1)，预测年月份该公司销售金额约为万元 (2)列联表见解析，可以认为购买产品与观看广告有关联 【分析】（1）计算出，，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再令计算可得； （2）完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】（1）因为，， ，又， 所以，， 所以经验回归方程为，当时，（万元）， 所以预测年月份该公司销售金额约为万元； （2）补全列联表如下： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 15 45 未购买 5 10 15 总计 35 25 60 零假设：购买产品与观看广告无关， 根据以上数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验我们推断不成立， 认为购买产品与观看广告有关联，此推断犯错误的概率不大于. 16．(1)最小值为，无最大值 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案； （2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率.根据已知结合斜率的公式即可得出.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，的定义域为， 且. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 所以，的最小值为，无最大值. （2）设切点为，则 根据导数的几何意义可知， 曲线在处的斜率， 则， 所以，， 整理可得，. 设，则在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，所以存在唯一解. 所以，的解为，切点， 此时斜率为， 切线方程为，整理可得，切线方程为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行的性质定理可得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得就是与平面所成的角，求出，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）    连接交于点，连接， 因为为矩形，所以点是是中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，因为点是是中点， 所以点是棱的中点； （2）因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为矩形，所以， 因为，平面， 所以平面，所以就是与平面所成的角， 可得，， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设是平面的一个法向量， 可得，所以， 令，可得，所以， 设是平面的一个法向量， 可得，所以， 令，可得，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为.    18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据抛物线的焦半径公式，求出抛物线的方程，分两种情况讨论，当直线轴时和直线与轴不垂直时，分别求出，即可证明； （2）结合（1）设的坐标为，根据的坐标写出直线的方程，整理后代入，即可得出直线恒过点，结合点在圆内即可证明． 【详解】（1）证明：因为点到抛物线焦点的距离为， 所以，解得或， 又因为， 所以，故抛物线方程为， 当直线轴时，可得， 此时，所以； 当直线与轴不垂直时，设的方程为，设， 代入得， 则，， 所以， 所以， 综上，． （2）证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为， 所以直线的方程为，即， 由（1）得，所以， 可得直线恒过点， 因为圆的方程，且， 所以点在圆内部， 所以直线恒与圆相交． 19．(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【详解】（1）由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． （2）设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． （3）因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数的单调递减区间为 A． B． C． D．， 2．已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是 A． B． C． D． 3．已知等比数列，，为函数的两个零点，则 A． B． C． D．3 4．据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为 A．12 B．18 C．24 D．36 5．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为 A． B． C． D． 6．在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知函数，若，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知四点，，，，四边形有内切圆，则点的轨迹是 A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列说法中正确的是 A．回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B．用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 10．设函数，则 1 学科网（北京）股份有限公司 A．有三个零点 C．的图象关于点中心对称 B．是的极小值点 D．当时， 11．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是 A． B． C． D．若数列满足，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设是等比数列的前项和，若，则 . 13．已知x，y之间的一组数据： x 1 4 9 16 y 5.5 4 3.5 3 若y与x满足回归方程，则b的值为 ． 14．设椭圆长轴的端点分别为，点为椭圆上异于的一点，若在中满足，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题（5小题，共77分） 15．（13分）某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下： 月份 1 2 3 4 5 销售收入/万元 380 460 580 670 860 (1)已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入 (2)为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 45 未购买 10 总计 请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？ 参考数据：． 参考公式：最小二乘法估计，． ，其中． 0.10 0.05 0.001 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（15分）已知函数. (1)求的最值； (2)求曲线过点的切线方程. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面.    (1)求证：点是棱的中点； (2)若平面与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 18．（17分）已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点． (1)证明：； (2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交． 19．（17分）已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． $$