精品解析：2025年广西九年级初中学业水平模拟考试数学卷（三）试卷

备战2025年广西初中学业水平模拟考试数学卷（三） 一、单选题：（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最大数是（ ） A. B. C. D. 2. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 3. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ） A. B. C. D. 8. 为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（ ） A. B. C. D. 9. 孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人？设共有辆车，则（ ） A. B. C. D. 10. 门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A. π B. π C. π D. 2π 12. 如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 14. 对一次抽样调查收集的数据进行分组，绘制了如表不完整的频数分布表（每一组包含左端点，不包含右端点）： 分组 频数 已知第三小组出现的频数是最后一组频数的倍，则这次调查抽取的样本容量是______． 15. 若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 16. 已知点在内，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点为的自相似点．如图，在中，，，，如果点为的自相似点，那么的余切值等于__________． 三、解答题：（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 21. 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26． （1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元． 22. 【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路的距离为，为公路上的酒店，从海岛到酒店，先乘船到登陆点，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若，则时间，当为定值时，问题转化为：在上确定一点，使得的值最小．如图②，过点做射线，使得． （1）过点作，垂足为，试说明：； （2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点，并说明理由． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）． 【模型运用】（4）如图③，海面上一标志到海岸的距离，，救生员在点处发现标志处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，求救生员从点出发到达处的最短时间． 23. （1）如图①，在矩形中，分别是上的点，且，求的值； （2）如图②，在矩形中（为常数），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年广西初中学业水平模拟考试数学卷（三） 一、单选题：（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于负数即可得出答案 【详解】解：因为， 所有最大的数是， 故选：D 2. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 【答案】C 【解析】 【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答. 【详解】2684亿元=2.684×1011， 故选：C. 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解. 3. 下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意； B．该图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故D不符合题意． 故选：A． 4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．画出树状图，根据树状图即可求． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目分别用、、、表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等结果，其中他选择“跳远”与“100米”两个项目的结果有2种， 他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率为， 故选：C． 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形， 因此选项A不符合题意； B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形， 因此选项B不符合题意； C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形， 因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形， 因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 6. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、多项式乘以多项式，同底数幂相乘，及完全平方公式进行运算判断即可． 【详解】解：A、2x与3y不是同类项不能合并运算，故错误； B、多项式乘以多项式，运算正确； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故错误； D、完全平方公式，，故错误 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握运算法则和运算规律是解答本题的关键． 7. 有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定系数与序号数的关系，再确定a的指数与序号数的关系，从而得到第n个式子. 【详解】解：∵第1个数； 第2个数为； 第3个数为； 第4个数为； ∴第n个数为. 故选：A. 【点睛】本题考查了规律型－数字变化类，探寻数列规律、认真观察、仔细思考、善用联想是解决问题的关键. 8. 为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，读懂题意，是正确列出代数式的关键． 【详解】解：∵已知参加“学科类选修课程”的有m人，参加“体音美选修课程”的人数比参加“学科类选修课程”的人数多9人， ∴参加“体音美选修课程”的人数有：人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比参加“体音美选修课程”人数的多5人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为：， 故选：B． 9. 孙子算经中有一道题，原文：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人？设共有辆车，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 10. 门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：是的切线， ， 设该圆的半径为， ， ， ，， ， ， 过作于，过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， ， 解得， 该圆的半径为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键． 11. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A. π B. π C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 12. 如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出当点P从点O运动到点A的过程中，S与t的关系式，然后再根据函数关系式得到这一段函数图像；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 【详解】解：设∠AOM＝α，点P运动速度为a， 当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2， 由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大； 当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段； 故选D． 【点睛】本题考查动点问题，涉及到面积计算、图像的判断等知识点，能够把P点运动过程分段是解题关键 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 14. 对一次抽样调查收集的数据进行分组，绘制了如表不完整的频数分布表（每一组包含左端点，不包含右端点）： 分组 频数 已知第三小组出现的频数是最后一组频数的倍，则这次调查抽取的样本容量是______． 【答案】76 【解析】 【分析】本题主要考查了样本容量，先根据题意求出第三小组的频数，然后再把所有频数相加即可得出答案． 【详解】解：第三小组的频数为：， 则这次调查抽取的样本容量是， 故答案为：76 15. 若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为是“共生数对”， 所以， 解得． 故答案为： 16. 已知点在内，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点为的自相似点．如图，在中，，，，如果点为的自相似点，那么的余切值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可. 【详解】∵AC=12，BC=5， ∴∠CAB<∠CBA， 故可在∠CAB内作∠CBP=∠CAB， 又∵点P为△ABC的自相似点， ∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D， 则△BPC∽△ACB， ∴点P为△ABC的自相似点， ∴∠BCP=∠CBA， ∴∠ACP=∠BAC， ∴∠ACP的余切， 故答案为：. 【点睛】此题考查相似三角形，解题关键在于两个三角形相似则余切值相等. 三、解答题：（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算以及求值，先按照平方差公式以及单项式乘以多项式展开，然后再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． （1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：AD＝AE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【小问1详解】 解：如图所示，CE即为所求． 【小问2详解】 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 19. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 21. 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26． （1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元． 【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣236；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为88万元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可； （2）构建方程即可解决问题； （3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题. 【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236． （2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236． 解得：x=16， 答：该产品第一年的售价是16元． （3）由题意：14≤x≤16， W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150， ∵14≤x≤16， ∴抛物线的对称轴x=15.5 ,又14≤x≤16 .x=14时，W2有最小值，最小值=88 (万元)， 答：该公司第二年的利润W2至少为88万元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题. 22. 【问题提出】如图①，已知海岛到海岸公路的距离为，为公路上的酒店，从海岛到酒店，先乘船到登陆点，船速为，再乘汽车，车速为船速的倍，点选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若，则时间，当为定值时，问题转化为：在上确定一点，使得的值最小．如图②，过点做射线，使得． （1）过点作，垂足为，试说明：； （2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点，并说明理由． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）． 【模型运用】（4）如图③，海面上一标志到海岸的距离，，救生员在点处发现标志处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，求救生员从点出发到达处的最短时间． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）． 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数应用，根据题意得出的值是解题关键． （1）利用在中，，进而求出即可； （2）首先过点作交于点，则点即为所用时间最短的登陆点，由第（1）问可知，，最短，即为最短； （3）首先过点做射线，使得，进而求出点位置； （4）由救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是，得出，可得，设，则，由，得，再解方程，进而得出时间． 【详解】解：（1）如图①， ， ， 在中，， ． （2）如图①过点作交于点，则点即为所用时间最短的登陆点． 理由如下：由第（1）问可知，． 最短，即为最短． 由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短． 可知此时点即为所求． （3）如图②， 过点做射线，使得， 过点作，垂足为，交于点，则即为所用时间最短的登陆点． （4）救生员在岸上跑的速度都是，在海中游泳的速度都是， 此时， ， ， ， 在中，设，则， 由，得， 解得， ，，． 时间为． 23. （1）如图①，在矩形中，分别是上的点，且，求的值； （2）如图②，在矩形中（为常数），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①证明，利用相似三角形的性质可求出的值； ②作于点，证明，利用相似三角形的性质可求出的值； （2）结论：．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题． （3）先根据余角的性质证明∠BFE=∠CGH，设，根据勾股定理求出k，再证明△BFE∽△CEP，即可求解. 【详解】（1）四边形矩形， ∴，∠ABC=∠BAD=90°， ， ， ∴， ， ， ； （2）如图②中，作于点. ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∴； （3）∵∠CGH+∠GPH=90°，∠CEP+∠CPE=90°， ∴∠CGH=∠CEP， 同理∠BFE=∠CEP， ∴∠BFE=∠CGH， ， 设， ， . 在中，， ， 或（舍去）， ，BF=4，AB=9， ， ∴BC=6， ∴CE=6-3=3， ∠BFE=∠CEP，∠B=∠PEC， ∴△BFE∽△CEP， ∴， ∴， ∴CP=. 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$