精品解析：北京市中关村中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件求出半径即可. 【详解】因为圆心为且过原点，所以 所以圆的方程是 故选：B 3. 焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由焦点坐标可知抛物线的开口向上，且，从而可求得抛物线的方程 【详解】解：因为抛物线的焦点为(0，2)， 所以设抛物线方程为，且， 解得，所以抛物线的方程为， 故选：A 4. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 5. 已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理及性质定理即可判断 【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若，则成立，满足充分性； 反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出A点坐标后，再代入双曲线渐近线方程可得，再代入可得双曲线的离心率. 【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点， 因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为. 由题可知，双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线经过点A，所以代入可知， 所以双曲线的离心率为 故选：C. 7. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，只需使圆心到直线的距离，解得的范围，根据选项逐一判断即得. 【详解】由圆方程可得圆心坐标为， 依题意需使点到直线的距离，解得. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用退位作差得到，从而，裂项相消法求和. 【详解】∵，∴，而符合上式，， ， ∴数列的前2025项的和， 故选：C． 9. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则 故选：C. 10. 已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（ ） ①若，则数列的前项和； ②若，数列的前项和为，则是递增数列； ③若数列是递增数列，则. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和判断①；根据判断②；根据，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断③. 【详解】对于①：当时，，则， 所以，故①正确； 对于②：当时，， 则，所以单调递增， 又，所以是递增数列，故②正确； 对于③：若数列是单调递增数列，则，即， 所以，所以， 因为，所以，即，故③错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：若数列是单调递增数列，则，再参变分离，求出参数的取值范围，反之，若判断的单调性，只需作差得到即可. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 双曲线的焦点到顶点的最小距离是______. 【答案】1 【解析】 【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为. 【详解】双曲线的焦点到顶点的最小距离为， 故答案为：1 12. 经过点，且与直线平行的直线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得. 【详解】因所求直线与直线平行，故可设为， 代入点，解得， 故所求的直线方程为：. 故答案为：. 13. 抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标求出， 结合抛物线的定义求出，再代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点 ， 则 ，即 ， 所以抛物线方程为 ，准线方程为， 因为到焦点的距离等于3， 所以到的距离等于3， 则 ， ，则 ， 则点的坐标为 故答案为： . 14. 已知等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件得到、的方程组，解得即可求出通项公式，再根据求和公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】设等差数列公差为，则，解得， 所以，所以， 所以当或时取得最小值，且的最小值为； 故答案为：； 15. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线上点的横坐标取值范围是 ③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为； ④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用曲线的对称性可判断①；由可解出的取值范围，可判断②；利用二次函数的基本性质可求出曲线上任一点到坐标原点的距离的取值范围，可判断③；作出曲线的图象，数形结合可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，①对； 对于②，由可得，解得或， 所以，曲线上点的横坐标取值范围是，②错； 对于③，在曲线在曲线上任取一点， 则，可得，则， 所以，，故， 所以，曲线上任一点到坐标原点的最小距离为，③对； 对于④，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线也关于轴对称， 当，时，曲线的方程可化为， 化简得，此时，，作出曲线的图象如下图所示： 考查当直线与圆相切，且圆的圆心为，半径为， 则，解得， 由对称性结合图形可知，若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用曲线的对称性，化简曲线方程，再结合对称性作出图形，数形结合来求解. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）易证得四边形为平行四边形，可知，由线面平行的判定可得结论； （2）由正方形性质和线面垂直性质可证得，，由线面垂直的判定可得平面，由可得结论. 【小问1详解】 分别为的中点，，， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 四边形为正方形，； 平面，平面，， 又，平面， 17. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、分别为、的中点，过的平面交于点，平面平面； （1）证明：为的中点； （2）取的中点，连接，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （i）到平面的距离； （ii）二面角的余弦值. 条件①： 条件②：平面. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）到平面的距离为； （ii）二面角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）由面面平行可得，由是的中点，可证结论； （2）选条件①，由已知可得，可证平面，进而可得平面平面，由面面垂直的性质可证以平面；选条件②：可得平面平面，由面面垂直的性质可证以平面；（i）易得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求到平面的距离；（ii）求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面平面，又平面平面，平面平面， 所以，又因为是的中点，所以为的中点； 【小问2详解】 条件①：，因为，所以， 所以，又，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 因为是正三角形，又是的中点，则平面, 而平面平面， 所以平面， 条件②：平面，又平面，所以平面平面， 因为是正三角形，又是的中点，则平面, 而平面平面， 所以平面， （i）由（1）知为的中点，易得四边形是平行四边形，可得， 又，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以四点共面， 又， 所以到平面的距离； （ii）设平面的法向量为， 又， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 由（i）可得平面的一个法向量为， 所以. 所以二面角的余弦值为. 18. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立椭圆方程并根据纵坐标可得，求出直线的方程； （2）利用弦长公式计算求得直线的方程，可得. 【小问1详解】 根据题意可设直线的方程为， 设的中点为，如下图所示： 联立，整理可得， 易知，解得或， 且，由，中点的纵坐标为，可得， 解得或（舍）， 因此直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得； 又弦长，可得， 整理可得， 解得，即，满足题意， 因此直线的方程为，即， 可得. 19. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. （1）求椭圆的标准方程及焦点的坐标； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1）椭圆的标准方程为，焦点坐标为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求解可得椭圆方程； （2）设直线与椭圆交于不同的两点，联立方程组，由根与系数的关系可得，求得直线的方程，求得点的坐标，计算，可得结论. 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为. 小问2详解】 设直线与椭圆交于不同的两点， 由，消去得， 所以， 两式相除可得，所以， 直线的方程为，令，解得，所以， 所以， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得两坐标的关系，表示，的斜率后的转化，从而可证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 长方体中，，则异面直线与所成角大小为（ ） A B. C. D. 5. 已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（ ） A. B. C. D. 9. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（ ） ①若，则数列的前项和； ②若，数列的前项和为，则是递增数列； ③若数列是递增数列，则. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 双曲线的焦点到顶点的最小距离是______. 12. 经过点，且与直线平行的直线方程是______. 13. 抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为______. 14. 已知等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为______. 15. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线上点的横坐标取值范围是 ③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为； ④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 17. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、分别为、的中点，过的平面交于点，平面平面； （1）证明：为的中点； （2）取的中点，连接，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （i）到平面的距离； （ii）二面角的余弦值. 条件①： 条件②：平面. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 19. 已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. （1）求椭圆标准方程及焦点的坐标； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$