19.2.2 一次函数-一次函数的应用 教学设计-2024-2025学年人教版八年级数学下册

19.2.2《一次函数-一次函数的应用》教学设计 教学内容分析 本章在学生已有的建立方程式或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的联系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的进程中继续体现建模思想．学生在七年级下册对数据的收集和整理已有所了解，已具备了从“表格”中获取相关信息的能力．同时通过对一次函数全章的学习，“数形结合思想”与“建模思想”已初步形成，为开展本次数学活动打下了坚实基础。 学习者分析 学生以前习惯于用方程和不等式来解决问题，遇到本节课的“问题 1”时，必然会首先想到方程和不等式，如何引导学生想到还可以利用“函数”来解决问题，并逐渐地形成习惯，这必然会成为近一段时间的教学难点。以前，学生也有通过画图或列表格来理解题意的经验，但那只是在理解题意阶段，在解决问题的核心部分，如何将“图形”的特征和实际问题结合在一起，并利用图象来解决问题，对于八年级的学生来说依然是个难题。此外，班级部分学生基础较弱，因此，设置的问题难度不能太大，同时也应该给学生留出足够的时间让他们去思考去交流讨论。 核心素养目标 1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；（数学抽象、逻辑推理） 2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；（数学建模） 3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法（数学运算） 4.通过本节课使学生能将实际问题中的数量关系用一次函数表示，并确定自变量的取值范围，使学生体会从不同的角度思考问题，会用一次函数知识解决方案选择问题，进一步在进行解决问题过程的反思，总结解决这类问题的方法，让学生懂得对于一件事情，有时会有不同的实施方案，运用一次函数的知识来选择最优方案是常用的方法。（直观想象、数据分析） 教学重点 根据实际问题，建立一次函数模型，借助一次函数性质选择和优化方案 教学难点 灵活运用一次函数解决实际问题 学习活动设计 教师活动 学生活动 教师活动： 问题 1:某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A 方案：每月收取基本月租费 15 元，另收通话费为 0.2 元/分； B 方案： 零月租费，通话费为 0.3 元/分. （1）试写出 A，B 两种方案所付话费 y (元) 与通话时 间 t (分钟) 之间的函数关系式； （2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出 哪 种付费方式合算？ 由函数图象可知： 当__________ 时，y1 < y2; 当__________时，y1 = y2; 当__________时，y1 > y2; 因此， 当一个月内通话时间少于____分时，选择方式____合算； 当一个月内通话时间等于____分时，选择方式____合算； 当一个月内通话时间 多于____分时，选择方式____合算. 探究 1：某工程机械厂根据市场要求，计划生产 A、B 两 种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少 于 22400 万元，但不超过 22500 万元，且所筹资金全 部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号 的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和 售价如下表所示： 型号 A A 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 (1) 该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ (2) 该厂如何生产获得最大利润？ 探究 2： 怎样选取上网收费方式？ 下表给出 A，B，C 三种上宽带网的收费方式 收费方式 月使用费用 包时上网时间 超时费 A 30 20 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 思考： 1.哪种方式上网费是会变化的，在 A、 B 两种方式中，上 网费由哪些部分组成？ A、B 会变化，A、B 两种方式上网费=月使用费+超时费 2.什么影响了上网费用，这三种方式中有一定最优惠的 方式吗？ 上网时间影响了上网费用，没有一定最优惠的方式 分析：在方式 A，B 中，上网时间是影响上网费的变量； 在方式 C 中，上网费是常量。 设月上网时间为 xh,则方案 A，B 的收费金额y1，y2都是 x 的函数。要比较它们，需在 x>0 的条件下，考虑何时(1)y1 = y2， (2) y1 < y2， (3) y1 > y2.利用函数解析式，通过函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题 设月上网时间为 x h，方案 A，B，C 的收费金额分别为 y1，y2，y3，写出它们的函数解析式 化简得： y2= 化简得： y3=120 (x≥0) 在同一坐标系画出它们的图象： 当上网时见__________时，选择方式 A 最省钱. 当上网时间__________时，选择方式 B 最省钱. 当上网时间 时，选择方式 C 最省钱. 结合图象可知： (1)若 y1=y2,即 3x-45=50,解方程,得 x = (2)若 y1＜y2,即 3x-45＜50,解不等式,得 x < (3)若 y1＞y2,即 3x-45＞50,解不等式,得 x > (4)若 y2＜y3,即 3x-100＜120,解不等式,得 x < (5)若 y2＞y3,即 3x-100＞120,解不等式,得 x > 答：当上网时间不超过 31 小时 40 分,选择方案 A 最省钱;当上网时间为 31 小时 40 分至 73 小时 20 分,选择方案 B最省钱 当上网时间超过 73 小时 20 分,选择方案 C 最省钱. 归纳总结： 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作 为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题 的函数，以此作为解决问题的数学模型 学生活动 1： 与学生从身边生活中常见的宽带使用情况入手，创设新课。 学生活动 2：画出这两个函数的图象 在教师引导下，积极探寻，合作探究，归 纳总结． 学生活动 3：分析问题中存在数量关 系、不等关系，列出一元一次不等式组， 求解出自变量的取值范围。 学生活动 4：认真思考实际问题中的变量和不变量，建立一次函数模型，借助一次函数性质选择和优化方案。 学生活动 5：归纳总结解决此类问题的一般方法 活动意图说明：学生通过观察、分析、类比、猜想，学习建立一次函数模型解决问题的方法，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生应用意识与创新思维． 课堂检测 1、 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收费为 y2 元， 观察下列图象可知，当 x________时，选用个体车较合算。 2．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法, 其中正确的说法有--------- ．（填序号） ①售 2 件时甲、乙两家售价一样； ②买 1 件时买乙家的合算； ③买 3 件时买甲家的合算； ④买 1 件时，售价约为 3 元 教学反思 把选择方案的实际问题转化为数学模型，再通过函数统一起来使用，利用函数 的解析式与图象，并结合方程，不等式来解决实际问题。精心设计教学程序，让学 生自己经历“问题情境——分析研究——建立模型—一解释应用”的过程，体验数 学与现实生活的联系。对于教学中的重点例题，注意到利用问题串的形式，将难点 分散，层层递进，逐步让学生掌握选择方案的一般方法。在讲解例题的同时，试着 让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实 际情境中的取值范围问题。教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学 有所获。 学科网（北京）股份有限公司 $$