1.6.2 正弦定理的扩充（课时二）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.6.2 正弦定理的扩充（课时二） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 余弦定理 C B A b a c 正弦定理 三角形面积公式 O 问题引入 问题1：三角形各边与它所对角的正弦的比值相等，那么这个比值的几何意义是什么？ 问题2：以直角三角形为例，你能找到它的外接圆的圆心的位置？外接圆的直径与三角形的边、角有关吗？ C A B 直角三角形 设外接圆的半径为R ∵AB=2R ∴BC=2R 又BC=a 所以同理可得 思考探讨 归纳总结 扩充后的正弦定理 （R为三角形外接圆半径） 正弦定理的推论 典例精析 归纳总结 判断三角形形状的两种途径 （1）利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状. （2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒 等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论. 在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因 式，以免漏解. 练习巩固 在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，判断的形状． 思考交流 想一想：在以上例题使用正弦定理推论进行变化角、角化边过程中，我们需注意什么？我们应在什么情景下来使用边化角、角化边？ 在条件中，若出现关于边的齐次式（方程），或关于角的正弦的齐次式（方程）可通过正弦定理，进行边角互化. 典例精析-用正弦定理进行边角互化 角度一　运算求解问题 [典例]　在锐角三角形 ABC 中，内角 A ， B 所对的边长分别为 a ， b ，若2 a sin B ＝ b ，则角 A 等于（　A　） A. B. C. D. [解析]　因为2 a sin B ＝ b ，由正弦定理可得，2 sin A sin B ＝ sin B ， 又 sin B ≠0，所以 sin A ＝ .因为△ ABC 是锐角三角形，所以 A ＝ . A 典例精析 角度二　化简证明问题 [典例]　在任意△ ABC 中，求证： a （ sin B － sin C ）＋ b （ sin C － sin A ）＋ c （ sin A － sin B ）＝0. [证明]　证法一：根据正弦定理，令 a ＝2 R sin A ， b ＝2 R sin B ， c ＝2 R sin C （其中 R 为△ ABC 外接圆的半径）.代入，得左边＝2 R （ sin A sin B － sin A sin C ＋ sin B sin C － sin B sin A ＋ sin C sin A － sin C sin B ）＝0＝右边，所以等式成立. 证法二：根据正弦定理，令 sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ （其中 R 为△ ABC 外 接圆的半径）.代入，得左边＝ a （ － ）＋ b （ － ）＋ c （ － ）＝ （ ab － ac ＋ bc － ba ＋ ca － cb ）＝0＝右边，所以等式成立. 典例精析-正弦定理和余弦定理的综合应用 角度一　求值问题 [典例]　设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对应的边长分别是 a ， b ， c ，且 cos B ＝ ， b ＝2. （1）当 A ＝30°时，求 a 的值； [解]　（1）因为 cos B ＝ ，所以 sin B ＝ ， 又因为 A ＝30°， 所以由正弦定理，知 a ＝ ＝ ＝ . 典例精析-正弦定理和余弦定理的综合应用 （2）当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值. [解]　（2）因为 S △ ABC ＝ ac sin B ， 所以 ac ＝3， ac ＝ ， 由余弦定理，得 b 2＝ a 2＋ c 2－2 ac cos B ， 所以4＝ a 2＋ c 2－ ac ＝（ a ＋ c ）2－2 ac － ac . 即4＝（ a ＋ c ）2－24. 所以（ a ＋ c ）2＝28.所以 a ＋ c ＝2 . 典例精析-正弦定理和余弦定理的综合应用 角度二　化简证明问题 [典例]　在△ ABC 中，证明下列式子： （ a 2－ b 2－ c 2）tan A ＋（ a 2－ b 2＋ c 2）tan B ＝0. [证明]　左边＝（ a 2－ b 2－ c 2） ＋（ a 2－ b 2＋ c 2）· ＝（ a 2－ b 2－ c2）· · ＋（ a 2－ b 2＋ c 2）· · ＝ ［ ＋ ］＝ （－1＋1）＝0＝右边，故原式得证. 练习巩固 D D 练习巩固 C C 练习巩固 ACD BC 练习巩固 练习巩固 课堂小结 扩充后的正弦定理 （R为三角形外接圆半径） 正弦定理的推论 （边化角） （角化边） 布置作业 练习册对应章节 $$