1.6.1 余弦定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.6.1 余弦定理 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 问题引入 问题1：构成三角形的元素是什么？什么解三角形呢？ 问题2：已知三角形的两边及其夹角就可以完全确定这个三角形，若夹角是直角，则利用勾股定理可求出第三边；若夹角不是直角，如何求第三边呢？我们刚刚学习完向量，我们能不能用向量的相关知识解决这个问题呢？ 新知探索 如图，已知△ABC的两边CB=a，CA=b以及两边夹角C，求边AB． A B C a b a b - 新知探索 如图，已知△ABC的两边CB=a，CA=b以及两边夹角C，求边AB． 新知探索 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理 C B A b a c 思考1：应用余弦定理可以解决什么样的问题？ 思考2：勾股定理与余弦定理有什么关系？ 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. 思维辨析 1. 判断.（对的打“√”，错的打“×”） （1）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的. （　√　） 解析：三角形三边确定对应的内角也就确定了. （2）在△ ABC 中，若 a 2＞ b 2＋ c 2，则△ ABC 一定为钝角三角形. （　√　 ） 解析：当 a 2＞ b 2＋ c 2时， cos A ＝ ＜0，又 A ∈（0，π），所以 A ∈ （ ，π），故△ ABC 为钝角三角形. （3）在△ ABC 中，若 a 2＜ b 2＋ c 2，则△ ABC 一定为锐角三角形. （　×　） 解析：由 a 2＜ b 2＋ c 2，根据余弦定理可推出 A 为锐角，但△ ABC 不一定是锐 角三角形，锐角三角形的确定需证明三个内角皆为锐角. √ √ × 典例-已知两边及一角解三角形 典例精析 A B C a c 练习巩固 典例-已知三角形的三边解三角形 [典例1]　已知△ ABC 中， a ∶ b ∶ c ＝2∶ ∶（ ＋1），求△ ABC 的各角的大小. [解]　设 a ＝2 k ， b ＝ k ， c ＝（ ＋1） k （ k ＞0）， 由余弦定理，得 cos A ＝ ＝ ＝ ，又0°＜ A ＜180°， ∴ A ＝45°，同理可得 cos B ＝ ， B ＝60°， ∴ C ＝180°－ A － B ＝75°. 典例-判断三角形形状 [典例2]　在△ ABC 中，若 b （ a － c cos B ）＝ a （ b － c cos A ），试判断△ ABC 的形状. [解]　因为 b （ a － c cos B ）＝ a （ b － c cos A ）， 所以由余弦定理， 得 b （ a － c · ）＝ a （ b － c · ）， 整理，得（ a 2＋ c 2－ b 2） b 2＝（ b 2＋ c 2－ a 2） a 2， 即（ a 2－ b 2）（ a 2＋ b 2－ c 2）＝0， 所以 a 2＋ b 2－ c 2＝0或 a 2＝ b 2. 所以 a 2＋ b 2＝ c 2或 a ＝ b . 故△ ABC 为直角三角形或等腰三角形. 练习巩固 已知在△ ABC 中， b cos A ＝ a cos B ，则△ ABC 是（　B　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 解析：因为 b cos A ＝ a cos B ， 所以 b · ＝ a · . 所以 b 2＋ c 2－ a 2＝ a 2＋ c 2－ b 2. 所以 a 2＝ b 2. 所以 a ＝ b .故此三角形是等腰三角形. B 练习巩固 C C D B 练习巩固 BC BD 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$