16.1 第1课时 二次根式的概念（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（沪科版）

第16章 二次根式 八年级数学沪科版·下册 16.1 第1课时 二次根式的概念 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 新课引入 里约奥运会上, 哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象? 你能猜出下面表情包是谁吗? 你们是根据哪些特征猜出的呢？ 新知探究 通过表情包来辨别人物, 最重要的是根据个人的特征, 那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的, 不是玩技巧, 技巧不足道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河 新知探究 问题1 什么叫做平方根? 一般地, 如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a (x≥0), 那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道, 负数没有平方根.因此, 在实数范围内开平方时, 被开方数只能是正数或0. 新知探究 思考 用带根号的式子填空, 这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形, 若面积为2m2, 则边长为_____m; 若面积为S m2, 则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形, 若长是宽的2倍, 面积为6m2, 则它的宽为_____m． 图 图 新知探究 （3）一个物体从高处自由落下, 落到地面所用的时间 t(单位: s)与开始落下的高度h(单位: m)满足关系 h =5t2, 如果用含有h 的式子表示 t , 那么t为_____． 新知探究 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2, S, 3, 的算术平方根． 上面问题中, 得到的结果分别是: , , , ． 二次根式的概念及有意义的条件 一 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 新知探究 归纳总结 一般地, 我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征: 含有“ ” ②内在特征: 被开方数a ≥0 注意: a可以是数, 也可以是式. 新知探究 例1 下列各式中, 哪些是二次根式? 哪些不是? 解： (1)(4)(6)均是二次根式, 其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 新知探究 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0, 得 x≥2. 当x≥2时, 在实数范围内有意义. 解: 由题意得 x-1＞0, ∴x＞1. 新知探究 解: ∵被开方数需大于或等于零, ∴3+x≥0, ∴x≥-3. ∵分母不能等于零, ∴x-1≠0, ∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义, 即需满足被开方数≥0, 列不等式求解即可. 若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时, 应同时考虑分母不为零. 归纳 新知探究 解：(1)∵无论x为何实数, ∴当x=1时, 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数, -x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0, ∴无论x为何实数, 在实数范围内都无意义. 被开方数是多项式时, 需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式, 再进行分析讨论. 归纳 新知探究 (1)单个二次根式如 有意义的条件: A≥0; (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0; (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 新知探究 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 新知探究 问题1 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数; 后者x为正数和0. 当a＞0时, 表示a的算术平方根, 因此 ＞0; 当a=0时, 表示0的算术平方根, 因此 =0. 这就是说, 当a≥0时, ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的双重非负性 二 新知探究 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 , 我们知道： （1）a为被开方数, 为保证其有意义, 可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根, 可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 新知探究 例3 若 , 求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0, b-3=0, c-4=0, 解得a=2, b=3, c=4. ∴a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零, 则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 新知探究 例4 已知 y= , 求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3, ∴y=8, ∴3x+2y=3×3+2×8=25. ∵25的算术平方根为5, ∴3x+2y的算术平方根为5． 新知探究 解：由题意得 ∴a=3, ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10; 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 , 则根据被开方数大于等于0, 可得a=0. 归纳 新知探究 已知|3x-y-1|和 互为相反数, 求x+4y的平方根． 解：由题意得 ∴3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1, y=2． ∴x+4y=1+2×4=9, ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 课堂小结 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 课堂小测 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当x=____时, 二次根式 取最小值, 其最小值 为______． 1. 下列式子中, 不属于二次根式的是 （ ） C A -1 0 课堂小测 4.当a是怎样的实数时, 下列各式在实数范围内有 意义？ ∵ ∵ ∵ ∵ 课堂小测 5.(1)若二次根式 有意义, 求m的取值范围． 解: 由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1, m≠2, ∴m＞2． (2)无论x取任何实数 代数式 都有意义, 求m的取值范围． 解: 由题意得x2+6x+m≥0, 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0, 则m-9≥0, 即m≥9. 课堂小测 6.若x, y是实数, 且y＜ ,求 的值. 解: 根据题意得 ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ , ∴ . 课堂小测 7.先阅读, 后回答问题： 当x为何值时, 有意义？ 解: 由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时, 有意义. 课堂小测 体会解题思想后, 试着解答: 当x为何值时, 有意义？ 解: 由题意得 则 解得x≥2或x＜ , 即当x≥2或x＜ 时, 有意义． $$