1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

第1章 直角三角形 八年级数学湘教版·下册 1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 学习目标 1.理解角平分线的性质定理的逆定理.(难点） 2.掌握角平分线的性质定理的逆定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 新课导入 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 新知探究 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 新知探究 角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 逆定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 新知探究 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）， OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）， ∴∠AOP=∠BOP 温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 新知探究 例1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 新知探究 例2： 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M 新知探究 D E F A B C P N M 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. 新知探究 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 课堂小结 角平分线的性质定理的逆定理 内容 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小测 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 课堂小测 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上， ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4， ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 课堂小测 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D $$