第1章 3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边垂直平分线的性质与作图（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边垂直平分线的性质与作图 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能 够运用其解决实际问题.(重点) 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线. 新课引入 复习引入 A B C D 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.线段的垂直平分线的作法. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 三角形三边的垂直平分线的性质 一 画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢? 新知探究 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线上 新知探究 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B C A P l n m 新知探究 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 归纳总结 应用格式： ∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点， ∴　PA =PB=PC． A B C P 新知探究 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 做一做 新知探究 尺规作图 二 做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h. A1 D C B A a h (D) C B A a h A1 D C B A a h A1 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 新知探究 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 　　这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等． 新知探究 (3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 新知探究 例 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. N M D C B a h A 作法： 1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形. 典例精析 新知探究 1.已知直线l和l上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. P ● l 新知探究 A B C P 已知：直线 l 和 l 上一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线． l 新知探究 B A 作法： 2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. (1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. (2)分别以A，B为圆心，大于R的长 为半径作圆，相交于C，D两点. (3)过两交点作直线 l ',此直线为 l 过P的垂线. P ● C D l ' 课堂小结 1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. A B C P a b c 课堂小测 1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ） A．80° 　　B．70° C．60° D．50° C B A D E C 课堂小测 2.下列说法错误的是 ( ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 D 【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误. 课堂小测 3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G. 求证：EG＝EC. F A B C E G D 课堂小测 证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°, ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°, ∴AE＝DE.又∵DF⊥AC, ∴∠DFC＝∠AEC＝90°, ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°, ∴∠CAE＝∠CDF, ∴△DEG≌△AEC(ASA), ∴EG＝EC. F A B C E G D 课堂小测 4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a. 作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形. $$