期末复习（四）一次函数 2024-2025学年数学人教版八年级下册

期末复习（四）一次函数 核心考点1 函数图象 【例1】如图，图中的函数图象反映了甲、乙两人从A地到B地的过程（x表示甲从起点出发后的时间，y甲表示甲的路程，y乙表示乙的路程）．下列4个说法：①A地到B地全程为1 000 m；②甲比乙晚出发40 min；③甲在途中休息了10 min；④乙追上甲时，乙跑了750 m．其中正确的说法有(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法讲解】通过函数图象分析以及结合行程问题的数量关系进行理解：（1）弄清横轴和纵轴表示的实际意义；（2）明确图象上升与下降所对应的自变量的取值范围，图象最高点、最低点以及每个拐点的实际意义. 【针对训练】 1.以下的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 (A) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 核心考点2 一次函数的图象和性质 【例2】已知一次函数y=（2m-3）x+m-3． （1）若图象与y轴的交点在原点下方，且y随x的增大而增大，求整数m的值； （2）若图象不经过第一象限，求m的取值范围． 【方法讲解】一次函数的图象、性质与函数解析式中的k，b有关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.当b>0时，图象与y轴的正半轴相交；当b=0时，图象过原点；当b<0时，图象与y轴的负半轴相交. 解：(1)图象与y轴交点在原点下方，且y随x的增大而增大，得 2m-3>0, m-3<0, 解得<m<3． ∴m的整数解为2； (2)∵图象不经过第一象限， ∴ 2m-3<0, m-3≤0, 解得m<． 【针对训练】 2.点A（-3，a），B（-1，b）都在直线y=x+k上，则a，b的大小关系是 (B) A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定 3.将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系中，则下列图象中正确的是 (B) A B C D 4.在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+4和y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≥-x+4的解集为x≥1． 第4题图 第5题图 5.如图，正比例函数y=-2x与一次函数y=ax+b的图象相交于点P（-1，m），则二元一次方程组 2x+y=0，的解为 x=-1, y-ax=b y=2. 6.如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于点C，A（0，3），且与正比例函数y2＝-2x的图象相交于点B（-1，m）． （1）求该一次函数的解析式； （2）当y1＞y2时，请写出自变量x的取值范围； （3）D是一次函数图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标． 解：(1)把B(-1，m)代入y2=-2x中，得m=2， ∴点B(-1，2). 把点A(0，3),B(-1，2)代入y1=kx+b,得 b=3, -k+b=2, 解得 k=1, b=3. ∴该一次函数的解析式y1=x+3； (2)观察图象可知，当y1>y2时，x>-1； (3)S△OCD=OC·yD=×OC×|yD|， S△OCB=×OC×2. ∵S△OCD=2S△OCB， ∴|yD|=4. ∴yD=±4. 代入y1=x+3得到点D的坐标为(1，4)或(-7，-4)． 核心考点3 一次函数的实际应用 【例3】李师傅将容量为60 L的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计)．当油箱中剩余油量为10 L时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1 L/km，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出工厂离目的地的路程； （2）求s关于t的函数解析式； （3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？ 【方法讲解】（1）理解函数图象上的点的横、纵坐标表示的实际意义；（2）先用待定系数法确定函数解析式，再根据自变量与函数值的对应关系求解. 解：(1)由图象，得t=0时，s=880， ∴工厂离目的地的路程为880 km； (2)设s=kt+b(k≠0)， 将点(0，880)和点(4，560)代入s=kt+b得， b=880, 4k+b=560, 解得 k=-80， b=880. ∴s关于t的函数解析式为s=-80t+880(0≤t≤11)； (3)当油箱中剩余油量为10 L时， 行驶的路程s=880-(60-10)÷0.1=380(km)， ∴380=-80t+880． 解得t=(h)． 当油箱中剩余油量为0 L时， 行驶的路程s=880-60÷0.1=280(km)， ∴280=-80t+880，解得t=(h)． ∵-80<0， ∴s随t的增大而减小． ∴t的取值范围是≤t≤． 【针对训练】 7.某合作社为尽快打开市场，对本地新产品采用了线上和线下结合销售的模式，具体费用标准如下： 线下销售：标价5元/千克，八折出售； 线上销售：标价5元/千克，九折出售，超过6 kg时，超出部分每千克再让利1.5元． 根据以上信息回答下列问题： （1）请分别求出两种销售模式下所需费用y（单位：元）与购买产品数量x（单位：kg）的函数解析式； （2）若想购买这种产品10 kg，请问选择哪种销售模式最省钱？ 解：(1)由题意知， 线下销售：y=5×0.8x=4x； 线上销售：当0≤x≤6时，y=5×0.9x=4.5x；当x>6时，y=5×0.9×6+(x-6)×(5×0.9-1.5) =27+3(x-6)=3x+9， ∴y= 4.5x(0≤x≤6), 3x+9(x>6). ∴线下销售y关于x的函数解析式为y=4x，线上销售y关于x的函数解析式为 y= 4.5x(0≤x≤6), 3x+9(x<6); (2)当x=10时，线下需花费：y=4x=4×10=40， 线上需花费：y=3x+9=3×10+9=39， ∵40>39， ∴购买这种产品10 kg时，线上购买最省钱． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.下列函数是一次函数的是 (D) A．y=x-x2 B．y= C．y=kx+b D．y=-x 2.函数y=的自变量x的取值范围是 (C) A．x≠3 B．x≥3 C．x≥-1且x≠3 D．x≥-1 3.若一个正比例函数的图象经过点A（1，-2），B（m，4），则m的值为 (B) A．2 B．-2 C．8 D．-8 4.小李从家出发，匀速步行去超市购物，随后骑共享单车匀速原路返回，则小李离家的距离s（单位：m）与他从家出发的时间t（单位：min）之间的关系大致可以用图象表示为 (C) A B C D 5.关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是 (D) A．点（0，k）在l上 B．l经过定点（-1，0） C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 6.若m＜-2，则一次函数y=（m+1）x+1-m的图象可能是 (D) A B C D 7.在探究水沸腾时温度变化特点时，记录的温度和时间变化的数据如下表．若温度的变化是均匀的，则18 min时的温度是 (B) 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 A．62 ℃ B．64 ℃ C．66 ℃ D．68 ℃ 8.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为 (B) A．16 B．20 C．36 D．45 二、填空题（每题4分，共16分） 9.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-x+2的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1>y2．（填“＞”“＜”或“=”） 10.在平面直角坐标系中，将一次函数y=2x-2的图象向上平移5个单位长度后，所得图象的函数解析式为y=2x+3． 11.如图，在平面直角坐标系中，经过点B（-4，0）的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(-，-1)，则关于x的方程mx+2=kx+b的解为． 第11题图 第12题图 12.△OAB，△BA1B1，△B1A2B2，…均为等腰直角三角形，将它们如图放置，点A1，A2，A3，…在直线y=x+1上，点B，B1，B2，…在x轴上，则点An的坐标是(2n-1，2n)． 三、解答题（共32分） 13.（7分）如图，在平面直角坐标系中，过点（-6，0）的直线l1与直线l2：y2=2x相交于点B（m，4）． （1）求直线l1的解析式； （2）若y2≥y1，直接写出x的取值范围． 解：(1)将点B(m，4)代入y2=2x得4=2m， 解得m=2， ∴点B的坐标为(2，4). 设直线l1的解析式为y1=kx+b，将(-6，0)，(2，4)代入得 -6k+b=0, 2k+b=4, 解得 k=， b=3. ∴直线l1的解析式为y1=x+3； (2)观察图象，当x≥2时，y2≥y1， ∴y2≥y1时，x的取值范围是x≥2． 14.（7分）如图，在平面直角坐标系中，设直线PA的函数解析式为y=-x+b，直线PA，PC分别与x轴相交于点A，B．已知点P（2，-1），C（0，3）． （1）求直线PC的函数解析式； （2）求△PAB的面积． 解：(1)设直线PC的函数解析式y=kx+m， 将点P(2，-1),C(0，3)分别代入，得 2k+m=-1, m=3, 解得 k=-2， m=3. ∴直线PC的函数解析式为y=-2x+3； (2)将点P(2，-1)代入直线PA，得-1=-×2+b， 解得b=， ∴直线PA的函数解析式为y=-x+. 对于直线PA，令y=0，解得x=， 对于直线PC，令y=0，解得x=， 即点A(，0)，点B(，0)， S△PAB=(-)×|-1|×=． 15.（8分）某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式； （2）洋洋爸爸准备了240元钱让洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？ 解：(1)设y甲=k1x， 根据题意得5k1=100，解得k1=20， ∴甲消费卡y甲关于x的函数解析式为y甲=20x； 设y乙=k2x+b2， 将点(0，100)，(20，300)分别代入，得 b2=100, 20k2+b2=300, 解得 k2=10, b2=100. ∴乙消费卡y乙关于x的函数解析式为y乙=10x+100； (2)甲：20x=240，解得x=12，即甲消费卡可玩12次； 乙：10x+100=240，解得x=14，即乙消费卡可玩14次； 14>12， ∴选择乙消费卡划算． 16.如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动. (1)求直线AB的解析式； (2)求△OAC的面积; (3)当△OMC的面积是△OAC的面积的时，点M的坐标. 解：(1)设直线AB的函数解析式是y=kx+b, 根据题意得 4k+b=2, 6k+b=0, 解得 k=-1, b=6. 则直线AB的函数解析式是y=-x+6; (2)在y=-x+6中，令x=0，解得y=6, S△OAC=×6×4=12; (3)设直线OA的函数解析式是y=mx,则4m=2, 解得m=, 则直线OA的函数解析式是y=x. ∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时， ∴点M的横坐标是×4=1. 在y=x中，当x=1时，y=,则点M的坐标是(1,); 在y=-x+6中，当x=1时，y=5,则点M的坐标是(1,5).则点M的坐标是(1,)或(1,5). ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$期末复习(四)一次函数 核心考点1 函数图象 【例1】如图,图中的函数图象反映了甲、乙两人从A地到B地的过程(x表示甲从起点出发后的时间,y甲表示甲的路程,y乙表示乙的路程).下列4个说法:①A地到B地全程为1 000 m;②甲比乙晚出发40 min;③甲在途中休息了10 min;④乙追上甲时,乙跑了750 m.其中正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【方法讲解】通过函数图象分析以及结合行程问题的数量关系进行理解:(1)弄清横轴和纵轴表示的实际意义;(2)明确图象上升与下降所对应的自变量的取值范围,图象最高点、最低点以及每个拐点的实际意义. 【针对训练】 1.以下的三个问题中都有两个变量: ①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x; ②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x; ③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y与矩形的长x. 其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 核心考点2 一次函数的图象和性质 【例2】已知一次函数y=(2m-3)x+m-3. (1)若图象与y轴的交点在原点下方,且y随x的增大而增大,求整数m的值; (2)若图象不经过第一象限,求m的取值范围. 【方法讲解】一次函数的图象、性质与函数解析式中的k,b有关.当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.当b>0时,图象与y轴的正半轴相交;当b=0时,图象过原点;当b<0时,图象与y轴的负半轴相交. 【针对训练】 2.点A(-3,a),B(-1,b)都在直线y=x+k上,则a,b的大小关系是 () A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定 3.将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系中,则下列图象中正确的是 () A B C D 4.在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+4和y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b≥-x+4的解集为 . 第4题图 第5题图 5.如图,正比例函数y=-2x与一次函数y=ax+b的图象相交于点P(-1,m),则二元一次方程组 2x+y=0,的解为 y-ax=b 6.如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于点C,A(0,3),且与正比例函数y2=-2x的图象相交于点B(-1,m). (1)求该一次函数的解析式; (2)当y1>y2时,请写出自变量x的取值范围; (3)D是一次函数图象上一点,若S OCD=2S OCB,求点D的坐标. 核心考点3 一次函数的实际应用 【例3】李师傅将容量为60 L的货车油箱加满后,从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中,货车离目的地的路程s(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10 L时,货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1 L/km,请根据图象解答下列问题: (1)直接写出工厂离目的地的路程; (2)求s关于t的函数解析式; (3)当货车显示加油提醒后,问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油? 【方法讲解】(1)理解函数图象上的点的横、纵坐标表示的实际意义;(2)先用待定系数法确定函数解析式,再根据自变量与函数值的对应关系求解. 【针对训练】 7.某合作社为尽快打开市场,对本地新产品采用了线上和线下结合销售的模式,具体费用标准如下: 线下销售:标价5元/千克,八折出售; 线上销售:标价5元/千克,九折出售,超过6 kg时,超出部分每千克再让利1.5元. 根据以上信息回答下列问题: (1)请分别求出两种销售模式下所需费用y(单位:元)与购买产品数量x(单位:kg)的函数解析式; (2)若想购买这种产品10 kg,请问选择哪种销售模式最省钱? 一、选择题(每题4分,共32分) 1.下列函数是一次函数的是 () A.y=x-x2 B.y= C.y=kx+b D.y=-x 2.函数y=的自变量x的取值范围是 () A.x≠3 B.x≥3 C.x≥-1且x≠3 D.x≥-1 3.若一个正比例函数的图象经过点A(1,-2),B(m,4),则m的值为 () A.2 B.-2 C.8 D.-8 4.小李从家出发,匀速步行去超市购物,随后骑共享单车匀速原路返回,则小李离家的距离s(单位:m)与他从家出发的时间t(单位:min)之间的关系大致可以用图象表示为 () A B C D 5.关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是 () A.点(0,k)在l上 B.l经过定点(-1,0) C.当k>0时,y随x的增大而增大 D.l经过第一、二、三象限 6.若m<-2,则一次函数y=(m+1)x+1-m的图象可能是 () A B C D 7.在探究水沸腾时温度变化特点时,记录的温度和时间变化的数据如下表.若温度的变化是均匀的,则18 min时的温度是 () 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/ 10 25 40 55 70 85 A.62 B.64 C.66 D.68 8.如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N P Q M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x, MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则矩形PQMN的面积为 () A.16 B.20 C.36 D.45 二、填空题(每题4分,共16分) 9.在平面直角坐标系中,已知一次函数y=-x+2的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1<x2,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”) 10.在平面直角坐标系中,将一次函数y=2x-2的图象向上平移5个单位长度后,所得图象的函数解析式为 . 11.如图,在平面直角坐标系中,经过点B(-4,0)的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(-,-1),则关于x的方程mx+2=kx+b的解为 . 第11题图 第12题图 12. OAB, BA1B1, B1A2B2,…均为等腰直角三角形,将它们如图放置,点A1,A2,A3,…在直线y=x+1上,点B,B1,B2,…在x轴上,则点An的坐标是 . 三、解答题(共32分) 13.(7分)如图,在平面直角坐标系中,过点(-6,0)的直线l1与直线l2:y2=2x相交于点B(m,4). (1)求直线l1的解析式; (2)若y2≥y1,直接写出x的取值范围. 14.(7分)如图,在平面直角坐标系中,设直线PA的函数解析式为y=-x+b,直线PA,PC分别与x轴相交于点A,B.已知点P(2,-1),C(0,3). (1)求直线PC的函数解析式; (2)求 PAB的面积. 15.(8分)某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡,设消费次数为x时,所需费用为y元,且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息,解答下列问题: (1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数解析式; (2)洋洋爸爸准备了240元钱让洋洋在该游乐场消费,请问选择哪种消费卡划算? 16.如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2),动点M沿路线O A C运动. (1)求直线AB的解析式; (2)求 OAC的面积; (3)当 OMC的面积是 OAC的面积的时,点M的坐标. ( 第 1 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$