期末复习（二）勾股定理2024-2025学年人教版数学八年级下册

期末复习（二）勾股定理 核心考点1 勾股定理的证明 【例1】某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1，B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB得到Rt△ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【方法讲解】勾股定理的证明常采用面积法，通过用不同的式子表示同一个图形的面积，再对两个恒等的式子进行整理. 【针对训练】 1.以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2验证勾股定理. 核心考点2 勾股定理及其逆定理 【例2】如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． 求证：AB⊥BC． 【方法讲解】正方形网格中，两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路. 【针对训练】 2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，连接AC． （1）求AC的长； （2）证明：△ACD是直角三角形． 核心考点3 勾股定理的实际应用 【例3】如图,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m. 现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD.求商店与公交车站之间的距离CD的长. 【方法讲解】利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键在于构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解. 【针对训练】 3.（8分）如图，一架梯子AB斜靠在左边的墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在右边的墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2 m，OB为1.5 m． （1）求梯子的长； （2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的长． 核心考点4 图形的折叠与勾股定理 【例4】如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为 () A．12 B．25 C．20 D．15 【方法讲解】解决有关折叠的问题时，通常利用角平分线、全等三角形的性质找出各线段的长度关系，再灵活设出未知数，利用勾股定理建立方程. 【针对训练】 4.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为 ． 一、选择题 1.下列各组数据，是勾股数的为 () A．1，1， B．0.6，0.8，1 C．4，5，6 D．8，15，17 2.最短边长是4的直角三角形，它的另外两条边可能是 () A．5，6 B．12，16 C．2，6 D．4，4 3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，则AD的长为 () A．10 B．11 C．12 D．13 4.如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1.过点B作BC⊥AB，使BC=1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是() A．-1 B．+1 C． D． 5.在如图所示的正方形网格中，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE的度数为() A．30° B．45° C．60° D．75° 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，则S2为 () A．18 B．20 C．22 D．24 7.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上安装了一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生的头顶C到门铃A的距离为 () A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 第7题图 第8题图 8.如图，“赵爽弦图”是三国时期吴国人赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成.在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”图片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，则阴影部分的面积是 () A．169 cm2 B．25 cm2 C．49 cm2 D．64 cm2 二、填空题（每题4分，共16分） 9.在平面直角坐标系中，点P（-3，5）到原点的距离是 ． 10.一个直角三角形的两边长分别是6，10，则第三边的长是 ． 11.如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD．若E是AD的中点，则CE= ． 第11题图 第12题图 12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AB=3，CD=2，则AD2+BC2的值为 ． 三、解答题（共32分） 13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积． 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中线，BE=2，AD=5，求AB的长. 15.（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8． （1）求证：∠BAC=90°； （2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长． 16.（10分）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到点M处的距离为100海里． （1）求灯塔A到航线MN的距离； （2）在航线MN上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点M航行到点B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（二）勾股定理 核心考点1 勾股定理的证明 【例1】某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1，B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB得到Rt△ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【方法讲解】勾股定理的证明常采用面积法，通过用不同的式子表示同一个图形的面积，再对两个恒等的式子进行整理. 证明：如图，连接BF， ∵AC=b， ∴正方形ACDE的面积为b2. ∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a， ∴BD=CD-BC=b-a，DF=DE+EF=a+b. ∵∠CAE=90 °， ∴∠BAC+∠BAE=90 °. 答图 ∵∠BAC=∠EAF， ∴∠EAF+∠BAE=90 °. ∴△BAF为等腰直角三角形. ∴S四边形ABDF=c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2). ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b22=c22+(b2-a2). ∴b2=c2+b2-1a2. ∴a2+b2=c2. ∴a2+b2=c2． 【针对训练】 1.以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2验证勾股定理. 解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴∠AEB=∠EDC. 又∵∠EDC+∠DEC=90 °， ∴∠AEB+∠DEC=90 °. ∴∠AED=90 °． ∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED， ∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2． 整理，得a2+b2=c2． 核心考点2 勾股定理及其逆定理 【例2】如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． 求证：AB⊥BC． 【方法讲解】正方形网格中，两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路. 证明：AB==25,BC==5,AC==5. ∵AC2=25,BC2=5,AB2=20, ∴AB2+BC2=AC2. ∴△ABC是直角三角形，且 AB⊥BC. 【针对训练】 2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，连接AC． （1）求AC的长； （2）证明：△ACD是直角三角形． (1)解：∵∠B=90 °，AB=3，BC=4， ∴AC===5. ∴AC的长为5； (2)证明：在△ACD中， ∵AC2+CD2=52+522=50，AD2=(5)2=50， ∴AC2+CD2=AD2. ∴△ACD是直角三角形． 核心考点3 勾股定理的实际应用 【例3】如图,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m. 现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD.求商店与公交车站之间的距离CD的长. 【方法讲解】利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键在于构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解. 解：根据题意，得AB⊥BD,AB=300 m,AD=500 m. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD===400(m). 设CD=x m，则BC=(400-x)m,AC=x m, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2=BC2+AB2, 即x2=(400-x)2+3002. 解得x=312.5. 即商店与公交车站之间的距离为312.5 m. 【针对训练】 3.（8分）如图，一架梯子AB斜靠在左边的墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在右边的墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2 m，OB为1.5 m． （1）求梯子的长； （2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的长． 解：(1)在Rt△AOB中， ∵∠AOB=90 °，AO=2 m， OB=1.5 m， ∴AB===2.5(m). 即梯子的长为2.5 m； (2)由题意得CD=AO+0.4=2.4 m，BC=AB=2.5 m， ∴BD===0.7(m). ∴OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 核心考点4 图形的折叠与勾股定理 【例4】如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为 (D) A．12 B．25 C．20 D．15 【方法讲解】解决有关折叠的问题时，通常利用角平分线、全等三角形的性质找出各线段的长度关系，再灵活设出未知数，利用勾股定理建立方程. 【针对训练】 4.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为2． 一、选择题 1.下列各组数据，是勾股数的为 (D) A．1，1， B．0.6，0.8，1 C．4，5，6 D．8，15，17 2.最短边长是4的直角三角形，它的另外两条边可能是 (C) A．5，6 B．12，16 C．2，6 D．4，4 3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，则AD的长为 (C) A．10 B．11 C．12 D．13 4.如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1.过点B作BC⊥AB，使BC=1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是(A) A．-1 B．+1 C． D． 5.在如图所示的正方形网格中，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE的度数为(B) A．30° B．45° C．60° D．75° 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，则S2为 (C) A．18 B．20 C．22 D．24 7.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上安装了一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生的头顶C到门铃A的距离为 (C) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 第7题图 第8题图 8.如图，“赵爽弦图”是三国时期吴国人赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成.在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”图片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，则阴影部分的面积是 (C) A．169 cm2 B．25 cm2 C．49 cm2 D．64 cm2 二、填空题（每题4分，共16分） 9.在平面直角坐标系中，点P（-3，5）到原点的距离是． 10.一个直角三角形的两边长分别是6，10，则第三边的长是2或8． 11.如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD．若E是AD的中点，则CE=1． 第11题图 第12题图 12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AB=3，CD=2，则AD2+BC2的值为13． 三、解答题（共32分） 13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积． 解：如图，连接AC， ∵AB=20，BC=15，∠B=90 °， ∴AC===25. ∵CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=72+242=625=252=AC2. ∴△ADC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB·BC+AD·DC=×20×15+×24×7=234. 即四边形ABCD的面积是234． 答图 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中线，BE=2，AD=5，求AB的长. 解：设CE=x，CD=y， ∵AD,BE是 Rt△ABC的中线， ∴AC=2x，BC=2y. 在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2, ∴(2x)2+y2=52, 即4x2+y2=25①. 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2=BE2, ∴(2y)2+x2=(2)2， 即4y2+x2=40②. 由①②得x2+y2=13. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===2. 15.（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8． （1）求证：∠BAC=90°； （2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长． (1)证明：∵AD⊥BC，AD=4，BD=2， ∴AB2=AD2+BD2=20. 又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4， ∴AC2=CD2+AD2=80. ∵BC=CD+BD=10， ∴BC2=100. ∴AC2+AB2=100=BC2. ∴∠BAC=90 °，△ABC是直角三角形; (2)解：分两种情况： ①当BP=AB时， ∵AD⊥BC， ∴AB===2. ∴BP=AB=25； ②当AP=AB时，BP=2BD=4． 综上所述,BP的长为2或4． 16.（10分）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到点M处的距离为100海里． （1）求灯塔A到航线MN的距离； （2）在航线MN上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点M航行到点B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 解：(1)如图，过点A作AT⊥MN于点T， ∴∠ATM=90 °. 由题意可得∠MAT=60 °，AM=100海里， ∴∠AMT=30 °. ∴AT=AM=50海里， 即灯塔A到航线MN的距离是50海里； (2)∵∠AMB=30 °，∠BAM=15 °， ∴∠ABT=∠AMB+∠BAM=45 °. ∵∠ATM=90 °， 答图 ∴∠ABT=∠BAT. ∴AT=BT=50海里. 在Rt△AMT中，∠ATM=90 °，根据勾股定理，得 MT===50(海里)， ∴BM=MT-BT=(50-50)海里. (50-50)÷50=(-1)小时, 故轮船从点M航行到点B处所用的时间为(-1)小时． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$