广东省广州市真光中学2024-2025学年高三下学期一模适应性考试数学试题

广州市真光中学2025届市一模适应性考试 高三数学 命题人：赵翎 审题人：吴海彬 2025.3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集集合..则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2 知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ） A B. 3 C. 4 D. 2 5. 为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 8. 已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为实数，则z是实数 B. 若为虚数，则z是虚数 C. 若，则实数 D. 若，则 10. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A B. C. A与B为互斥事件D. A与B相互独立 11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. 向量不共面 C. 平面与平面的夹角的正切值为 D. 平面截该正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为          . 13.已知，，则          . 14. 已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知的内角 所对应的边分别为，若. （1）求；（2）求面积的最大值. 16. 如图，在直四棱柱中，，点的线段上. （1）是否存在点，使得平面？若存在求；若不存在，请说明理由； （2）若平面里平面夹角的正切值为，求的值. 17. 已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. （1）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （2）当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 18. 已知各项均为正数的数列满足：，且 （1）设，求数列的通项公式 （2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数． 19. 给定两个正整数，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）.已知函数. （1）记为在处的阶帕德逼近，判断函数的单调性； （2），求的取值范围； （3）求证：（为自然对数的底数）. 广州市真光中学2025届市一模适应性考试 高三数学参考答案 1.【答案】B2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】B 【详解】设事件表示“零件为一等品”， 事件表示“零件为二等品”， 事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”， 则， 故， 故选:B. 6. 【答案】D 【详解】， ，故， 故选：D. 7【答案】D 【详解】如图： 对A：由，所以函数的反函数为，所以关于直线对称，故A正确； 对B：有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于.故B正确； 对C：因为直线与直线垂直，设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故C正确； 对D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，如图所示，构成矩形，该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又，， 所以矩形的面积为. 又，所以D错误. 故选：D 8. 【答案】C【详解】依题意得，解得， 如图，取线段的中点，连接，平面，平面， 所以，因为，所以 又平面，所以平面， 因为平面过点，所以平面即为平面，所以点在线段上， 因为，所以为线段的中点，且边上的高为， 故为等腰直角三角形，且其外接圆半径. 设四面体外接球的半径为，则， 故所求外接球的体积为. 故选:C. 【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】AC 12.【答案】  【解析】解：令，则 令，则， 所以两个顶点坐标为，， 所以，， 所以 故答案为 13.【答案】  【解析】解：由题意得，所以， 即， 又， 所以，， 所以 故答案为： 14【答案】 【解析】 【分析】先求出柱体体积，再利用导数求解即可. 【详解】 设，则，解得. 连接，则， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 因为，所以，所以， 同理可得， 因为平面，所以平面， 连接，过点作的平行线与交于点，因为，所以， 在中，，所以， 易得为正三角形，所以， 则三棱柱的体积， 则， 令，解得， 当时，，当时，，所以， 故当三棱柱的体积取得最大值时，. 故答案为：. 15. 【解析】 【小问1详解】 ，得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． 【小问2详解】 ，得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 16【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到所以，假设存在，使得平面，再经过分析，转化为只需，结合相似三角形求解边长即可； （2）设，运用向量法反推，构造方程求出即可. 【小问1详解】 依题意得平面平面， 所以.取的中点，连接， 因为， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以. 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 故要使得平面，假设存在点， 只需，此时，显然 则，易得， 所以， 所以存在点，且. 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴， 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， ， 则， 设， 则. 因为平面平面， 所以，又由（1）知， ，所以平面， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则 取，则， 则. 设平面与平面的夹角为， 因为，所以， 所以 ， 解得或（舍去）， 所以. 17. 【解析】 【小问1详解】 设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线方程为. 【小问2详解】 由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 18. 【解析】 【详解】（1） 是公比为2的等比数列， ， （2） 若为整数，因为 ，即 能被整除 所以可得时，能被整除 的最小值是 19【解析】 【小问1详解】 由题意得， ，由，得， 所以，则，由，得， 所以，由，得，则， 故，则， 所以在区间内单调递增. 【小问2详解】 依题意得在区间内恒成立. 令，注意到，则， 因为在区间内恒成立，所以，使在区间内单调递减， 即当时，，故，则. 当时，. 令0），则， 因为，所以在区间内单调递减，则， 故在区间内单调递减，则， 所以，符合题意. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 证明：由（1）可知当时，， 即，整理得， 由（2）可知当时，，则. 综上，当时，. 令，得，即. 令，则， 故要证，即证. 因为，所以， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$