4.3.2等比数列的前n项和公式:递推公式求通项 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

递推公式求通项 4.3.2等比数列的前n项和公式 特殊值法 排除法 归纳法 求解方法 递推公式 求通项 解答题 填空题 选择题 定义 叠加 累积 辅助数列 an+1-an=d an+1-an=f(n) an+1÷an=f(n) 可求和 可求积 an+1=can+f(n) an+1÷an=q 等差数列 等比数列 an+1=can+d， an+1=can+dn+e， an+1=can+d·qn 学习目标： 求an. 例1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,求an. 解法1： 待定系数法 设an+1+t=2(an+t) an+1=2an+2t-t an+1=2an+t an+1=2an+3 由an+1=2an+3 得an+1+3=2(an+3) ∵a1+3=4≠0 ∴数列{an+3}为等比数列，首项为4，公比为2. ∴an+3=4×2n-1=2n+1 ∴an=2n+1-3. 例1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,求an. 解法2： 由an+1=2an+3 得an+2=2an+1+3 ∵a2-a1=a1+3=4≠0 ∴数列{an+1-an}为等比数列，首项为4，公比为2. ∴an+1-an=4×2n-1=2n+1 ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+···+(an-an-1)=1+22+23+24+···+2n …① …② ②-①得 an+2-an+1=2(an+1-an) 设bn=an+1-an b1=a2-a1=1+3=4≠0 则bn+1=2bn ∴数列{bn}为等比数列， ∴bn=4×2n-1=2n+1 首项为4，公比为2. 例1.已知数列{an}满足ca1-c+d≠0,an+1=can+d,求an. 解法1： 待定系数法 设an+1+t=c(an+t) an+1=can+(c-1)t an+1=can+d 由an+1=can+d ∴数列 为等比数列，首项为 ，公比为c. 例2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n+1,求an. 解法1： 待定系数法 设an+1+s(n+1)+t=2(an+sn+t) an+1=2an+sn+t-s an+1=2an+3n+1 由an+1=2an+3n+1 ∵a1+3+4=8≠0 ∴{an+3n+4}为等比数列， ∴an+3n+4=8×2n-1=2n+2 ∴an=2n+2-3n-4. s=3,t=4 得an+1+3(n+1)+4=2(an+3n+4) 首项为8，公比为2. 例2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n+1,求an. 解法2： 由an+1=2an+3n+1 得an+2=2an+1+3(n+1)+1 …① …② ②-①得 an+2-an+1=2(an+1-an)+3 设bn=an+1-an 则bn+1=2bn+3, 即bn+1+3=2(bn+3), b1+3=8. ∴数列{bn+3}为等比数列，首项为8，公比为2, 则bn+3=8×2n-1=2n+2 ∴bn=2n+2-3 即an+1-an=2n+2-3. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+···+(an-an-1)=1+23+24+···+2n+1-3(n-1) 例3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,求an. 解法1： 待定系数法 设an+1+t·3n+1=2(an+t·3n) an+1=2an+2t·3n-t·3n+1 an+1=2an-t·3n an+1=2an+3n 得an+1-3n+1=2(an-3n) ∵a1-3=-2≠0 ∴数列{an-3n}为等比数列，首项为-2，公比为2. ∴an-3n=-2×2n-1=-2n ∴an=3n-2n. t=-1 由an+1=2an+3n 例3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,求an. 解法2： 两边同除以3n得 由an+1=2an+3n ∴数列{bn-3}为等比数列，首项为-2，公比为 例3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,求an. 解法3： 两边同除以2n得 由an+1=2an+3n ∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+···+(bn-bn-1) 例4.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+3n,求an. 待定系数法 设an+1+t·3n+1=3(an+t·3n) an+1=3an+3t·3n-t·3n+1 an+1=3an an+1=3an+3n t不存在 由an+1=3an+3n 解： 两边同除以3n得 ∴数列{bn}为等差数列，首项为1，公差为1. ∴bn=n. ∴an=n·3n-1. 则bn+1=bn+1, 即bn+1-bn=1. an+1=can+d an+1=can+dn+e an+1=can+dqn (待定系数法) 待定系数法(c≠q) 待定系数法 (c≠1） 两边同除以qn （两式相减) 两式相减 两边同除以cn an $$